Calcolo Esempi

$x y^{2} d y + (x^{2} + 1) d x = 0$

Passaggio 1

Sottrai $(x^{2} + 1) d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x y^{2} d y = - (x^{2} + 1) d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} (x y^{2}) d y = \frac{1}{x} (- (x^{2} + 1)) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $x$ da $x y^{2}$ .

$\frac{1}{x} (x (y^{2})) d y = \frac{1}{x} (- (x^{2} + 1)) d x$

Passaggio 3.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{x} (x y^{2}) d y = \frac{1}{x} (- (x^{2} + 1)) d x$

Passaggio 3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} d y = \frac{1}{x} (- (x^{2} + 1)) d x$

Passaggio 3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y^{2} d y = - \frac{1}{x} (x^{2} + 1) d x$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} d y = (- \frac{1}{x} x^{2} - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

Passaggio 3.4

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{x}$ nel numeratore.

$y^{2} d y = (\frac{- 1}{x} x^{2} - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

Passaggio 3.4.2

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$y^{2} d y = (\frac{- 1}{x} (x \cdot x) - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

Passaggio 3.4.3

Elimina il fattore comune.

$y^{2} d y = (\frac{- 1}{x} (x \cdot x) - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

Passaggio 3.4.4

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} d y = (- x - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

Passaggio 3.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$y^{2} d y = (- x - \frac{1}{x}) d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y^{2} d y = \int - x - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - x - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - x d x + \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.3.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int x d x + \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.3.5

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - (\ln (| x |) + C_{3})$

Passaggio 4.3.6

Semplifica.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C_{4}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C$

Passaggio 5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C)$

Passaggio 5.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Semplifica $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C)$

Passaggio 5.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C)$

Passaggio 5.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C)$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Semplifica $3 (- \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

$x^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{2}}{2} - \ln (| x |) + C)$

Passaggio 5.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{2}}{2}) + 3 (- \ln (| x |)) + 3 C$

Passaggio 5.2.2.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.3.1

Moltiplica $3 (- \frac{x^{2}}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.3.1.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$y^{3} = - 3 \frac{x^{2}}{2} + 3 (- \ln (| x |)) + 3 C$

Passaggio 5.2.2.1.3.1.2

$- 3$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$y^{3} = \frac{- 3 x^{2}}{2} + 3 (- \ln (| x |)) + 3 C$

Passaggio 5.2.2.1.3.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$y^{3} = \frac{- 3 x^{2}}{2} - 3 \ln (| x |) + 3 C$

Passaggio 5.2.2.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y^{3} = - \frac{3 x^{2}}{2} - 3 \ln (| x |) + 3 C$

Passaggio 5.3

Semplifica $- 3 \ln (| x |)$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$y^{3} = - \frac{3 x^{2}}{2} - \ln ({| x |}^{3}) + 3 C$

Passaggio 5.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \sqrt[3]{- \frac{3 x^{2}}{2} - \ln ({| x |}^{3}) + 3 C}$

Passaggio 5.5

Semplifica $\sqrt[3]{- \frac{3 x^{2}}{2} - \ln ({| x |}^{3}) + 3 C}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Per scrivere $- \ln ({| x |}^{3})$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{- \frac{3 x^{2}}{2} - \ln ({| x |}^{3}) \cdot \frac{2}{2} + 3 C}$

Passaggio 5.5.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

$- \ln ({| x |}^{3})$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{- \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{- \ln ({| x |}^{3}) \cdot 2}{2} + 3 C}$

Passaggio 5.5.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln ({| x |}^{3}) \cdot 2}{2} + 3 C}$

Passaggio 5.5.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1

Moltiplica $- \ln ({| x |}^{3}) \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - 2 \ln ({| x |}^{3})}{2} + 3 C}$

Passaggio 5.5.3.1.2

Semplifica $- 2 \ln ({| x |}^{3})$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln ({({| x |}^{3})}^{2})}{2} + 3 C}$

Passaggio 5.5.3.2

Moltiplica gli esponenti in ${({| x |}^{3})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln ({| x |}^{3 \cdot 2})}{2} + 3 C}$

Passaggio 5.5.3.2.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln ({| x |}^{6})}{2} + 3 C}$

Passaggio 5.5.3.3

Rimuovi il valore assoluto in ${| x |}^{6}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln (x^{6})}{2} + 3 C}$

Passaggio 5.5.4

Per scrivere $3 C$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln (x^{6})}{2} + 3 C \cdot \frac{2}{2}}$

Passaggio 5.5.5

$3 C$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln (x^{6})}{2} + \frac{3 C \cdot 2}{2}}$

Passaggio 5.5.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 3 C \cdot 2}{2}}$

Passaggio 5.5.7

Moltiplica $2$ per $3$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C}{2}}$

Passaggio 5.5.8

Riscrivi $\sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C}{2}}$ come $\frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C}}{\sqrt[3]{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C}}{\sqrt[3]{2}}$

Passaggio 5.5.9

Moltiplica $\frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C}}{\sqrt[3]{2}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Passaggio 5.5.10

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.10.1

Moltiplica $\frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C}}{\sqrt[3]{2}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Passaggio 5.5.10.2

Eleva $\sqrt[3]{2}$ alla potenza di $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Passaggio 5.5.10.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Passaggio 5.5.10.4

Somma $1$ e $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Passaggio 5.5.10.5

Riscrivi ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ come $2$ .

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Passaggio 5.5.10.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{2}$ come $2^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Passaggio 5.5.10.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Passaggio 5.5.10.5.3

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 5.5.10.5.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.10.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 5.5.10.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Passaggio 5.5.10.5.5

Calcola l'esponente.

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Passaggio 5.5.11

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.11.1

Riscrivi ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ come $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Passaggio 5.5.11.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} \sqrt[3]{4}}{2}$

Passaggio 5.5.12

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 5.5.12.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$y = \frac{\sqrt[3]{(- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C) \cdot 4}}{2}$

Passaggio 5.5.12.2

Riordina i fattori in $\frac{\sqrt[3]{(- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C) \cdot 4}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{4 (- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C)}}{2}$

Passaggio 6

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{\sqrt[3]{4 (- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + C)}}{2}$