Calcolo Esempi

$\frac{d f}{d t} = y (f - c)$

Passaggio 1

Sia $v = f - c$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $f - c$ con $v$ .

$\frac{d f}{d t} = y v$

Passaggio 2

Trova $\frac{d v}{d t}$ differenziando $f - c$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $f - c$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [f] + \frac{d}{d t} [- c]$ .

$\frac{d v}{d t} = \frac{d}{d t} [f] + \frac{d}{d t} [- c]$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\frac{d}{d t} [f]$ come $f'$ .

$\frac{d v}{d t} = f' + \frac{d}{d t} [- c]$

Passaggio 2.3

Poiché $- c$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- c$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{d v}{d t} = f' + 0$

Passaggio 2.4

Somma $f'$ e $0$ .

$\frac{d v}{d t} = f'$

Passaggio 3

Sostituisci la derivata nell'equazione differenziale.

$\frac{d v}{d t} = y v$

Passaggio 4

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{v}$ .

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{v} (y v)$

Passaggio 4.2

Elimina il fattore comune di $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Scomponi $v$ da $y v$ .

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{v} (v y)$

Passaggio 4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{v} (v y)$

Passaggio 4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = y$

Passaggio 4.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{v} d v = y d t$

Passaggio 5

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{v} d v = \int y d t$

Passaggio 5.2

L'integrale di $\frac{1}{v}$ rispetto a $v$ è $\ln (| v |)$ .

$\ln (| v |) + C_{1} = \int y d t$

Passaggio 5.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Applica la regola costante.

$\ln (| v |) + C_{1} = y t + C_{2}$

Passaggio 5.3.2

Riordina i termini.

$\ln (| v |) + C_{1} = t y + C_{2}$

Passaggio 5.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| v |) = t y + C$

Passaggio 6

Risolvi per $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Per risolvere per $v$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| v |)} = e^{t y + C}$

Passaggio 6.2

Riscrivi $\ln (| v |) = t y + C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{t y + C} = | v |$

Passaggio 6.3

Risolvi per $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Riscrivi l'equazione come $| v | = e^{t y + C}$ .

$| v | = e^{t y + C}$

Passaggio 6.3.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$v = \pm e^{t y + C}$

Passaggio 7

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Riscrivi $e^{t y + C}$ come $e^{t y} e^{C}$ .

$v = \pm e^{t y} e^{C}$

Passaggio 7.2

Riordina $e^{t y}$ e $e^{C}$ .

$v = \pm e^{C} e^{t y}$

Passaggio 7.3

Combina costanti con il più o il meno.

$v = C e^{t y}$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $v$ con $f - c$ .

$f - c = C e^{t y}$

Passaggio 9

Somma $c$ a entrambi i lati dell'equazione.

$f = C e^{t y} + c$