Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 2 y e^{x}$ , $y (0) = 4$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (2 y e^{x})$

Passaggio 1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{y} (y e^{x})$

Passaggio 1.2.2

$2$ e $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y e^{x})$

Passaggio 1.2.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Scomponi $y$ da $y e^{x}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y (e^{x}))$

Passaggio 1.2.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y e^{x})$

Passaggio 1.2.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 e^{x}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y} d y = 2 e^{x} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 2 e^{x} d x$

Passaggio 2.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 2 e^{x} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int e^{x} d x$

Passaggio 2.3.2

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (e^{x} + C_{2})$

Passaggio 2.3.3

Semplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 e^{x} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y |) = 2 e^{x} + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| y |)} = e^{2 e^{x} + C}$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\ln (| y |) = 2 e^{x} + C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2 e^{x} + C} = | y |$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $| y | = e^{2 e^{x} + C}$ .

$| y | = e^{2 e^{x} + C}$

Passaggio 3.3.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{2 e^{x} + C}$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi $e^{2 e^{x} + C}$ come $e^{2 e^{x}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{2 e^{x}} e^{C}$

Passaggio 4.2

Riordina $e^{2 e^{x}}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{2 e^{x}}$

Passaggio 4.3

Combina costanti con il più o il meno.

$y = C e^{2 e^{x}}$

Passaggio 5

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $C$ sostituendo $x$ con $0$ e $y$ con $4$ in $y = C e^{2 e^{x}}$ .

$4 = C e^{2 e^{0}}$

Passaggio 6

Risolvi per $C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riscrivi l'equazione come $C e^{2 e^{0}} = 4$ .

$C e^{2 e^{0}} = 4$

Passaggio 6.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$C e^{2 \cdot 1} = 4$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$C e^{2} = 4$

Passaggio 6.3

Dividi per $e^{2}$ ciascun termine in $C e^{2} = 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Dividi per $e^{2}$ ciascun termine in $C e^{2} = 4$ .

$\frac{C e^{2}}{e^{2}} = \frac{4}{e^{2}}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{C e^{2}}{e^{2}} = \frac{4}{e^{2}}$

Passaggio 6.3.2.1.2

Dividi $C$ per $1$ .

$C = \frac{4}{e^{2}}$

Passaggio 7

Sostituisci $\frac{4}{e^{2}}$ a $C$ in $y = C e^{2 e^{x}}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci $\frac{4}{e^{2}}$ a $C$ .

$y = \frac{4}{e^{2}} e^{2 e^{x}}$

Passaggio 7.2

$\frac{4}{e^{2}}$ e $e^{2 e^{x}}$ .

$y = \frac{4 e^{2 e^{x}}}{e^{2}}$

Passaggio 7.3

Elimina il fattore comune di $e^{2 e^{x}}$ e $e^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Scomponi $e^{2}$ da $4 e^{2 e^{x}}$ .

$y = \frac{e^{2} (4 e^{2 e^{x} - 2})}{e^{2}}$

Passaggio 7.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

Moltiplica per $1$ .

$y = \frac{e^{2} (4 e^{2 e^{x} - 2})}{e^{2} \cdot 1}$

Passaggio 7.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{e^{2} (4 e^{2 e^{x} - 2})}{e^{2} \cdot 1}$

Passaggio 7.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{4 e^{2 e^{x} - 2}}{1}$

Passaggio 7.3.2.4

Dividi $4 e^{2 e^{x} - 2}$ per $1$ .

$y = 4 e^{2 e^{x} - 2}$