Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x}}{5 + e^{x}}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = \frac{e^{x}}{5 + e^{x}} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int \frac{e^{x}}{5 + e^{x}} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int \frac{e^{x}}{5 + e^{x}} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Sia $u = 5 + e^{x}$ . Allora $d u = e^{x} d x$ , quindi $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Sia $u = 5 + e^{x}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.1.1.1

Differenzia $5 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [5 + e^{x}]$

Passaggio 2.3.1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 2.3.1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 + e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 2.3.1.1.2.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 2.3.1.1.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$0 + e^{x}$

Passaggio 2.3.1.1.4

Somma $0$ e $e^{x}$ .

$e^{x}$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2.3.2

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 + e^{x}$ .

$y + C_{1} = \ln (| 5 + e^{x} |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$y = \ln (| 5 + e^{x} |) + C$