Calcolo Esempi

$25 \frac{d q}{d t} - \frac{d^{2} q}{d t^{2}} = 0$

Passaggio 1

Sia $v = \frac{d q}{d t}$ . Allora $\frac{d v}{d t} = \frac{d^{2} q}{d t^{2}}$ . Sostituisci $v$ a $\frac{d q}{d t}$ e $\frac{d v}{d t}$ a $\frac{d^{2} q}{d t^{2}}$ per ottenere un'equazione differenziale con una variabile dipendente $v$ e una variabile indipendente $t$ .

$25 v - \frac{d v}{d t} = 0$

Passaggio 2

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Risolvi per $\frac{d v}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sottrai $25 v$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{d v}{d t} = - 25 v$

Passaggio 2.1.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \frac{d v}{d t} = - 25 v$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \frac{d v}{d t} = - 25 v$ .

$\frac{- \frac{d v}{d t}}{- 1} = \frac{- 25 v}{- 1}$

Passaggio 2.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\frac{d v}{d t}}{1} = \frac{- 25 v}{- 1}$

Passaggio 2.1.2.2.2

Dividi $\frac{d v}{d t}$ per $1$ .

$\frac{d v}{d t} = \frac{- 25 v}{- 1}$

Passaggio 2.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{- 25 v}{- 1}$ .

$\frac{d v}{d t} = - 1 \cdot (- 25 v)$

Passaggio 2.1.2.3.2

Riscrivi $- 1 \cdot (- 25 v)$ come $- (- 25 v)$ .

$\frac{d v}{d t} = - (- 25 v)$

Passaggio 2.1.2.3.3

Moltiplica $- 25$ per $- 1$ .

$\frac{d v}{d t} = 25 v$

Passaggio 2.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{v}$ .

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{v} (25 v)$

Passaggio 2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = 25 \frac{1}{v} v$

Passaggio 2.3.2

$25$ e $\frac{1}{v}$ .

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = \frac{25}{v} v$

Passaggio 2.3.3

Elimina il fattore comune di $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = \frac{25}{v} v$

Passaggio 2.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = 25$

Passaggio 2.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{v} d v = 25 d t$

Passaggio 3

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{v} d v = \int 25 d t$

Passaggio 3.2

L'integrale di $\frac{1}{v}$ rispetto a $v$ è $\ln (| v |)$ .

$\ln (| v |) + C_{1} = \int 25 d t$

Passaggio 3.3

Applica la regola costante.

$\ln (| v |) + C_{1} = 25 t + C_{2}$

Passaggio 3.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C_{3}$ .

$\ln (| v |) = 25 t + C_{3}$

Passaggio 4

Risolvi per $v$ .

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Passaggio 4.1

Per risolvere per $v$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| v |)} = e^{25 t + C_{3}}$

Passaggio 4.2

Riscrivi $\ln (| v |) = 25 t + C_{3}$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{25 t + C_{3}} = | v |$

Passaggio 4.3

Risolvi per $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Riscrivi l'equazione come $| v | = e^{25 t + C_{3}}$ .

$| v | = e^{25 t + C_{3}}$

Passaggio 4.3.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$v = \pm e^{25 t + C_{3}}$

Passaggio 5

Raggruppa i termini costanti.

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Passaggio 5.1

Riscrivi $e^{25 t + C_{3}}$ come $e^{25 t} e^{C_{3}}$ .

$v = \pm e^{25 t} e^{C_{3}}$

Passaggio 5.2

Riordina $e^{25 t}$ e $e^{C_{3}}$ .

$v = \pm e^{C_{3}} e^{25 t}$

Passaggio 5.3

Combina costanti con il più o il meno.

$v = C_{4} e^{25 t}$

Passaggio 6

Sostituisci tutte le occorrenze di $v$ con $\frac{d q}{d t}$ .

$\frac{d q}{d t} = C_{4} e^{25 t}$

Passaggio 7

Riscrivi l'equazione.

$d q = C_{4} e^{25 t} d t$

Passaggio 8

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 8.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d q = \int C_{4} e^{25 t} d t$

Passaggio 8.2

Applica la regola costante.

$q + C_{5} = \int C_{4} e^{25 t} d t$

Passaggio 8.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 8.3.1

Poiché $C_{4}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $C_{4}$ fuori dall'integrale.

$q + C_{5} = C_{4} \int e^{25 t} d t$

Passaggio 8.3.2

Sia $u = 25 t$ . Allora $d u = 25 d t$ , quindi $\frac{1}{25} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 8.3.2.1

Sia $u = 25 t$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1.1

Differenzia $25 t$ .

$\frac{d}{d t} [25 t]$

Passaggio 8.3.2.1.2

Poiché $25$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $25 t$ rispetto a $t$ è $25 \frac{d}{d t} [t]$ .

$25 \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 8.3.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$25 \cdot 1$

Passaggio 8.3.2.1.4

Moltiplica $25$ per $1$ .

$25$

Passaggio 8.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$q + C_{5} = C_{4} \int e^{u} \frac{1}{25} d u$

Passaggio 8.3.3

$e^{u}$ e $\frac{1}{25}$ .

$q + C_{5} = C_{4} \int \frac{e^{u}}{25} d u$

Passaggio 8.3.4

Poiché $\frac{1}{25}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{25}$ fuori dall'integrale.

$q + C_{5} = C_{4} (\frac{1}{25} \int e^{u} d u)$

Passaggio 8.3.5

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$q + C_{5} = C_{4} \frac{1}{25} (e^{u} + C_{6})$

Passaggio 8.3.6

Semplifica.

$q + C_{5} = \frac{C_{4}}{25} e^{u} + C_{7}$

Passaggio 8.3.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $25 t$ .

$q + C_{5} = \frac{C_{4}}{25} e^{25 t} + C_{7}$

Passaggio 8.3.8

Riordina i termini.

$q + C_{5} = \frac{1}{25} C_{4} e^{25 t} + C_{7}$

Passaggio 8.3.9

Riordina i termini.

$q + C_{5} = \frac{1}{25} e^{25 t} C_{4} + C_{7}$

Passaggio 8.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $D$ .

$q = \frac{1}{25} e^{25 t} C + D$