Calcolo Esempi

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = x e^{x}$

Passaggio 1

Integra entrambi i lati rispetto a $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

La derivata prima è uguale all'integrale della derivata seconda rispetto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int x e^{x} d x$

Passaggio 1.2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x e^{x} - \int e^{x} d x$

Passaggio 1.3

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x e^{x} - (e^{x} + C_{1})$

Passaggio 1.4

Semplifica.

$\frac{d y}{d x} = x e^{x} - e^{x} + C_{1}$

Passaggio 2

Riscrivi l'equazione.

$d y = (x e^{x} - e^{x} + C_{1}) d x$

Passaggio 3

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int x e^{x} - e^{x} + C_{1} d x$

Passaggio 3.2

Applica la regola costante.

$y + C_{2} = \int x e^{x} - e^{x} + C_{1} d x$

Passaggio 3.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{2} = \int x e^{x} d x + \int - e^{x} d x + \int C_{1} d x$

Passaggio 3.3.2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{x}$ .

$y + C_{2} = x e^{x} - \int e^{x} d x + \int - e^{x} d x + \int C_{1} d x$

Passaggio 3.3.3

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$y + C_{2} = x e^{x} - (e^{x} + C_{3}) + \int - e^{x} d x + \int C_{1} d x$

Passaggio 3.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + C_{2} = x e^{x} - (e^{x} + C_{3}) - \int e^{x} d x + \int C_{1} d x$

Passaggio 3.3.5

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$y + C_{2} = x e^{x} - (e^{x} + C_{3}) - (e^{x} + C_{4}) + \int C_{1} d x$

Passaggio 3.3.6

Applica la regola costante.

$y + C_{2} = x e^{x} - (e^{x} + C_{3}) - (e^{x} + C_{4}) + C_{1} x + C_{5}$

Passaggio 3.3.7

Semplifica.

$y + C_{2} = x e^{x} - 2 e^{x} + C_{1} x + C_{6}$

Passaggio 3.3.8

Riordina i termini.

$y + C_{2} = e^{x} x + C_{1} x - 2 e^{x} + C_{6}$

Passaggio 3.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $D$ .

$y = e^{x} x + C x - 2 e^{x} + D$