Calcolo Esempi

$e^{x} \frac{d y}{d x} = 4$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per $e^{x}$ ciascun termine in $e^{x} \frac{d y}{d x} = 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Dividi per $e^{x}$ ciascun termine in $e^{x} \frac{d y}{d x} = 4$ .

$\frac{e^{x} \frac{d y}{d x}}{e^{x}} = \frac{4}{e^{x}}$

Passaggio 1.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{x} \frac{d y}{d x}}{e^{x}} = \frac{4}{e^{x}}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{e^{x}}$

Passaggio 1.2

Riscrivi l'equazione.

$d y = \frac{4}{e^{x}} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int \frac{4}{e^{x}} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int \frac{4}{e^{x}} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Passaggio 2.3.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Nega l'esponente di $e^{x}$ e rimuovilo dal denominatore.

$y + C_{1} = 4 \int 1 {(e^{x})}^{- 1} d x$

Passaggio 2.3.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{x})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = 4 \int 1 e^{x \cdot - 1} d x$

Passaggio 2.3.2.2.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$y + C_{1} = 4 \int 1 e^{- 1 \cdot x} d x$

Passaggio 2.3.2.2.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$y + C_{1} = 4 \int 1 e^{- x} d x$

Passaggio 2.3.2.2.2

Moltiplica $e^{- x}$ per $1$ .

$y + C_{1} = 4 \int e^{- x} d x$

Passaggio 2.3.3

Sia $u = - x$ . Allora $d u = - d x$ , quindi $- d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Sia $u = - x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.1

Differenzia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.3.3.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.3.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 2.3.3.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 2.3.3.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = 4 \int - e^{u} d u$

Passaggio 2.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 4 (- \int e^{u} d u)$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$y + C_{1} = - 4 \int e^{u} d u$

Passaggio 2.3.6

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$y + C_{1} = - 4 (e^{u} + C_{2})$

Passaggio 2.3.7

Semplifica.

$y + C_{1} = - 4 e^{u} + C_{2}$

Passaggio 2.3.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$y + C_{1} = - 4 e^{- x} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = - 4 e^{- x} + K$