Calcolo Esempi

$\frac{d r}{d t} = 4 t + \sec^{2} (t)$ , $r (- π) = 3$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d r = (4 t + \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d r = \int 4 t + \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$r + C_{1} = \int 4 t + \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$r + C_{1} = \int 4 t d t + \int \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 2.3.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $t$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$r + C_{1} = 4 \int t d t + \int \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $t$ rispetto a $t$ è $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$r + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 2.3.4

Poiché la derivata di $\tan (t)$ è $\sec^{2} (t)$ , l'integrale di $\sec^{2} (t)$ è $\tan (t)$ .

$r + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \tan (t) + C_{3}$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

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Passaggio 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ e $t^{2}$ .

$r + C_{1} = 4 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + \tan (t) + C_{3}$

Passaggio 2.3.5.2

Semplifica.

$r + C_{1} = 2 t^{2} + \tan (t) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$r = 2 t^{2} + \tan (t) + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $t$ con $- π$ e $r$ con $3$ in $r = 2 t^{2} + \tan (t) + K$ .

$3 = 2 {(- π)}^{2} + \tan (- π) + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $2 {(- π)}^{2} + \tan (- π) + K = 3$ .

$2 {(- π)}^{2} + \tan (- π) + K = 3$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica $2 {(- π)}^{2} + \tan (- π) + K$ .

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Passaggio 4.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- π$ .

$2 ({(- 1)}^{2} π^{2}) + \tan (- π) + K = 3$

Passaggio 4.2.1.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$2 (1 π^{2}) + \tan (- π) + K = 3$

Passaggio 4.2.1.1.3

Moltiplica $π^{2}$ per $1$ .

$2 π^{2} + \tan (- π) + K = 3$

Passaggio 4.2.1.1.4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la tangente è negativa nel secondo quadrante.

$2 π^{2} - \tan (0) + K = 3$

Passaggio 4.2.1.1.5

Il valore esatto di $\tan (0)$ è $0$ .

$2 π^{2} - 0 + K = 3$

Passaggio 4.2.1.1.6

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$2 π^{2} + 0 + K = 3$

Passaggio 4.2.1.2

Somma $2 π^{2}$ e $0$ .

$2 π^{2} + K = 3$

Passaggio 4.3

Sottrai $2 π^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$K = 3 - 2 π^{2}$

Passaggio 5

Sostituisci $3 - 2 π^{2}$ a $K$ in $r = 2 t^{2} + \tan (t) + K$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $3 - 2 π^{2}$ a $K$ .

$r = 2 t^{2} + \tan (t) + 3 - 2 π^{2}$