Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = 3 x$

Passaggio 1

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = \frac{1}{x}$ .

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Passaggio 1.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 1.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Passaggio 1.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{\ln (x)}$

Passaggio 1.4

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $x$ .

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Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine per $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x (\frac{1}{x} y) = x (3 x)$

Passaggio 2.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.1

$\frac{1}{x}$ e $y$ .

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x (3 x)$

Passaggio 2.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x (3 x)$

Passaggio 2.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x \frac{d y}{d x} + y = x (3 x)$

Passaggio 2.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x \frac{d y}{d x} + y = 3 x \cdot x$

Passaggio 2.4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.4.1

Sposta $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = 3 (x \cdot x)$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = 3 x^{2}$

Passaggio 3

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [x y] = 3 x^{2}$

Passaggio 4

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int 3 x^{2} d x$

Passaggio 5

Integra il lato sinistro.

$x y = \int 3 x^{2} d x$

Passaggio 6

Integra il lato destro.

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Passaggio 6.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$x y = 3 \int x^{2} d x$

Passaggio 6.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$x y = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Passaggio 6.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 6.3.1

Riscrivi $3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ come $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ .

$x y = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Passaggio 6.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

$3$ e $\frac{1}{3}$ .

$x y = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Passaggio 6.3.2.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$x y = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Passaggio 6.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x y = 1 x^{3} + C$

Passaggio 6.3.2.3

Moltiplica $x^{3}$ per $1$ .

$x y = x^{3} + C$

Passaggio 7

Dividi per $x$ ciascun termine in $x y = x^{3} + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x y = x^{3} + C$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{x^{3}}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y}{x} = \frac{x^{3}}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 7.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 7.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 7.3.1

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ e $x$ .

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Passaggio 7.3.1.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$y = \frac{x \cdot x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 7.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 7.3.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y = \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

Passaggio 7.3.1.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$y = \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Passaggio 7.3.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Passaggio 7.3.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{x^{2}}{1} + \frac{C}{x}$

Passaggio 7.3.1.2.5

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$y = x^{2} + \frac{C}{x}$