Calcolo Esempi

$(x y^{2} + x^{2} y^{2} + 3) d x + (x^{2} y) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = x y^{2} + x^{2} y^{2} + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{2} + x^{2} y^{2} + 3]$

Passaggio 1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x y^{2} + x^{2} y^{2} + 3$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [3]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [x y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x y^{2}$ rispetto a $y$ è $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [3]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 y) + \frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [3]$

Passaggio 1.3.3

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + \frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [3]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $x^{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x^{2} y^{2}$ rispetto a $y$ è $x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [3]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + x^{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [3]$

Passaggio 1.4.3

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 2 x^{2} y + \frac{d}{d y} [3]$

Passaggio 1.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $3$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 2 x^{2} y + 0$

Passaggio 1.5.2

Somma $2 x y + 2 x^{2} y$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 2 x^{2} y$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = x^{2} y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Passaggio 2.2

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $x^{2} y$ rispetto a $x$ è $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x)$

Passaggio 2.4

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot y x$

Passaggio 2.4.2

Riordina i fattori di $2 y x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x y$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $2 x y + 2 x^{2} y$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 x y$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$2 x y + 2 x^{2} y = 2 x y$

Passaggio 3.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$2 x y + 2 x^{2} y = 2 x y$ non è un'identità.

Passaggio 4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $2 x y + 2 x^{2} y$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 x y + 2 x^{2} y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Passaggio 4.2

Sostituisci $2 x y$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 x y + 2 x^{2} y - (2 x y)}{N}$

Passaggio 4.3

Sostituisci $x^{2} y$ a $N$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $x^{2} y$ a $N$ .

$\frac{2 x y + 2 x^{2} y - (2 x y)}{x^{2} y}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Scomponi $x y$ da $2 x y + 2 x^{2} y - 1 \cdot 2 x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Scomponi $x y$ da $2 x y$ .

$\frac{x y (2) + 2 x^{2} y - 1 \cdot 2 x y}{x^{2} y}$

Passaggio 4.3.2.1.2

Scomponi $x y$ da $2 x^{2} y$ .

$\frac{x y (2) + x y (2 x) - 1 \cdot 2 x y}{x^{2} y}$

Passaggio 4.3.2.1.3

Scomponi $x y$ da $- 1 \cdot 2 x y$ .

$\frac{x y (2) + x y (2 x) + x y (- 1 \cdot 2)}{x^{2} y}$

Passaggio 4.3.2.1.4

Scomponi $x y$ da $x y (2) + x y (2 x)$ .

$\frac{x y (2 + 2 x) + x y (- 1 \cdot 2)}{x^{2} y}$

Passaggio 4.3.2.1.5

Scomponi $x y$ da $x y (2 + 2 x) + x y (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{x y (2 + 2 x - 1 \cdot 2)}{x^{2} y}$

Passaggio 4.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{x y (2 + 2 x - 2)}{x^{2} y}$

Passaggio 4.3.2.3

Combina i termini opposti in $2 + 2 x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.1

Sottrai $2$ da $2$ .

$\frac{x y (2 x + 0)}{x^{2} y}$

Passaggio 4.3.2.3.2

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{x y (2 x)}{x^{2} y}$

$\frac{x y \cdot 2 x}{x^{2} y}$

Passaggio 4.3.2.4

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.4.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{1} x y \cdot 2}{x^{2} y}$

Passaggio 4.3.2.4.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{1} x^{1} y \cdot 2}{x^{2} y}$

Passaggio 4.3.2.4.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{1 + 1} y \cdot 2}{x^{2} y}$

Passaggio 4.3.2.4.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{x^{2} y \cdot 2}{x^{2} y}$

Passaggio 4.3.3

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} y \cdot 2}{x^{2} y}$

Passaggio 4.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y \cdot 2}{y}$

Passaggio 4.3.4

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \cdot 2}{y}$

Passaggio 4.3.4.2

Dividi $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 4.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int 2 d x}$

Passaggio 5

Valuta l'integrale $e^{\int 2 d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Applica la regola costante.

$μ (x, y) = e^{2 x + C}$

Passaggio 5.2

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{2 x} + C$

Passaggio 6

Moltiplica entrambi i lati di $(x y^{2} + x^{2} y^{2} + 3) d x + x^{2} y d y = 0$ per il fattore di integrazione $e^{2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $x y^{2} + x^{2} y^{2} + 3$ per $e^{2 x}$ .

$(x y^{2} + x^{2} y^{2} + 3) e^{2 x} d x + x^{2} y d y = 0$

Passaggio 6.2

Applica la proprietà distributiva.

$(x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}) d x + x^{2} y d y = 0$

Passaggio 6.3

Moltiplica $x^{2} y$ per $e^{2 x}$ .

$(x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}) d x + x^{2} y e^{2 x} d y = 0$

Passaggio 7

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{2} y e^{2 x} d y$

Passaggio 8

Integra $N (x, y) = x^{2} y e^{2 x}$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Poiché $x^{2} e^{2 x}$ è costante rispetto a $y$ , sposta $x^{2} e^{2 x}$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = x^{2} e^{2 x} \int y d y$

Passaggio 8.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} e^{2 x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Passaggio 8.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Riscrivi $x^{2} e^{2 x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ come $x^{2} e^{2 x} \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = x^{2} e^{2 x} \frac{1}{2} y^{2} + C$

Passaggio 8.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} e^{2 x} y^{2} + C$

Passaggio 8.3.2.2

$\frac{x^{2}}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} y^{2} + C$

Passaggio 8.3.2.3

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} e^{2 x} y^{2}}{2} + C$

Passaggio 8.3.3

Riordina i termini.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} y^{2} + C$

Passaggio 9

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)$

Passaggio 10

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Passaggio 11

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Passaggio 11.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Passaggio 11.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2} e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Passaggio 11.3.2

$\frac{x^{2}}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Passaggio 11.3.3

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2}$ e $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} e^{2 x} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Passaggio 11.3.4

Poiché $\frac{y^{2}}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x^{2} e^{2 x} y^{2}}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} e^{2 x}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Passaggio 11.3.5

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{2 x}$ .

$\frac{y^{2}}{2} (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Passaggio 11.3.6

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$\frac{y^{2}}{2} (x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Passaggio 11.3.6.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{y^{2}}{2} (x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Passaggio 11.3.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$\frac{y^{2}}{2} (x^{2} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Passaggio 11.3.7

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{y^{2}}{2} (x^{2} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Passaggio 11.3.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (x^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Passaggio 11.3.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{y^{2}}{2} (x^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Passaggio 11.3.10

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (x^{2} (e^{2 x} \cdot 2) + e^{2 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Passaggio 11.3.11

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{2 x}$ .

$\frac{y^{2}}{2} (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Passaggio 11.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{y^{2}}{2} (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Passaggio 11.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y^{2}}{2} (x^{2} (2 e^{2 x})) + \frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 x)) + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Passaggio 11.5.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.2.1

$x^{2}$ e $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{x^{2} y^{2}}{2} (2 e^{2 x}) + \frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 x)) + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Passaggio 11.5.2.2

$2$ e $\frac{x^{2} y^{2}}{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} y^{2})}{2} e^{2 x} + \frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 x)) + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Passaggio 11.5.2.3

$\frac{2 (x^{2} y^{2})}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$\frac{2 (x^{2} y^{2}) e^{2 x}}{2} + \frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 x)) + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Passaggio 11.5.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x^{2} y^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 x)) + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Passaggio 11.5.2.4.2

Dividi $x^{2} y^{2} e^{2 x}$ per $1$ .

$x^{2} y^{2} e^{2 x} + \frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 x)) + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Passaggio 11.5.2.5

$e^{2 x}$ e $\frac{y^{2}}{2}$ .

$x^{2} y^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} (2 x) + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Passaggio 11.5.2.6

$2$ e $\frac{e^{2 x} y^{2}}{2}$ .

$x^{2} y^{2} e^{2 x} + \frac{2 (e^{2 x} y^{2})}{2} x + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Passaggio 11.5.2.7

$\frac{2 (e^{2 x} y^{2})}{2}$ e $x$ .

$x^{2} y^{2} e^{2 x} + \frac{2 (e^{2 x} y^{2}) x}{2} + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Passaggio 11.5.2.8

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.2.8.1

Elimina il fattore comune.

$x^{2} y^{2} e^{2 x} + \frac{2 e^{2 x} y^{2} x}{2} + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Passaggio 11.5.2.8.2

Dividi $e^{2 x} y^{2} x$ per $1$ .

$x^{2} y^{2} e^{2 x} + e^{2 x} y^{2} x + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Passaggio 11.5.3

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d x} + e^{2 x} x^{2} y^{2} + e^{2 x} y^{2} x = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Passaggio 11.5.4

Riordina i fattori in $\frac{d g}{d x} + e^{2 x} x^{2} y^{2} + e^{2 x} y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + y^{2} x e^{2 x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Passaggio 12

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Sottrai $x^{2} y^{2} e^{2 x}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} x e^{2 x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x} - x^{2} y^{2} e^{2 x}$

Passaggio 12.1.2

Sottrai $y^{2} x e^{2 x}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x} - x^{2} y^{2} e^{2 x} - y^{2} x e^{2 x}$

Passaggio 12.1.3

Combina i termini opposti in $x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x} - x^{2} y^{2} e^{2 x} - y^{2} x e^{2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.3.1

Sottrai $x^{2} y^{2} e^{2 x}$ da $x^{2} y^{2} e^{2 x}$ .

$\frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x} + 0 - y^{2} x e^{2 x}$

Passaggio 12.1.3.2

Somma $x y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x} - y^{2} x e^{2 x}$

Passaggio 12.1.3.3

Riordina i fattori nei termini di $x y^{2} e^{2 x}$ e $- y^{2} x e^{2 x}$ .

$\frac{d g}{d x} = e^{2 x} y^{2} x + 3 e^{2 x} - e^{2 x} y^{2} x$

Passaggio 12.1.3.4

Sottrai $e^{2 x} y^{2} x$ da $e^{2 x} y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 e^{2 x} + 0$

Passaggio 12.1.3.5

Somma $3 e^{2 x}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 e^{2 x}$

Passaggio 13

Trova l'antiderivata di $3 e^{2 x}$ per trovare $g (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = 3 e^{2 x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 3 e^{2 x} d x$

Passaggio 13.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 3 e^{2 x} d x$

Passaggio 13.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$g (x) = 3 \int e^{2 x} d x$

Passaggio 13.4

Sia $u = 2 x$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.1

Sia $u = 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 13.4.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 13.4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 13.4.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 13.4.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$g (x) = 3 \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 13.5

$e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = 3 \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Passaggio 13.6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$g (x) = 3 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Passaggio 13.7

$\frac{1}{2}$ e $3$ .

$g (x) = \frac{3}{2} \int e^{u} d u$

Passaggio 13.8

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$g (x) = \frac{3}{2} (e^{u} + C)$

Passaggio 13.9

Semplifica.

$g (x) = \frac{3}{2} e^{u} + C$

Passaggio 13.10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$g (x) = \frac{3}{2} e^{2 x} + C$

Passaggio 14

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} y^{2} + \frac{3}{2} e^{2 x} + C$

Passaggio 15

Semplifica $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} y^{2} + \frac{3}{2} e^{2 x} + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} e^{2 x} y^{2} + \frac{3}{2} e^{2 x} + C$

Passaggio 15.1.2

$\frac{x^{2}}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} y^{2} + \frac{3}{2} e^{2 x} + C$

Passaggio 15.1.3

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{3}{2} e^{2 x} + C$

Passaggio 15.1.4

$\frac{3}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{3 e^{2 x}}{2} + C$

Passaggio 15.2

Riordina i fattori in $f (x, y) = \frac{x^{2} e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{3 e^{2 x}}{2} + C$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{3 e^{2 x}}{2} + C$