Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1$

Passaggio 1

Riscrivi $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ come ${(\frac{y}{x})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + {(\frac{y}{x})}^{2} + 1$

Passaggio 2

Sia $V = \frac{y}{x}$ . Sostituisci $V$ a $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + V^{2} + 1$

Passaggio 3

Risolvi $V = \frac{y}{x}$ per $y$ .

$y = V x$

Passaggio 4

Usa la regola del prodotto per trovare la derivata di $y = V x$ rispetto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Passaggio 5

Sostituisci $x \frac{d V}{d x} + V$ a $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + V^{2} + 1$

Passaggio 6

Risolvi l'equazione differenziale sostituita.

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Passaggio 6.1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Risolvi per $\frac{d V}{d x}$ .

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Passaggio 6.1.1.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d V}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 6.1.1.1.1

Sottrai $V$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x \frac{d V}{d x} = V + V^{2} + 1 - V$

Passaggio 6.1.1.1.2

Combina i termini opposti in $V + V^{2} + 1 - V$ .

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Passaggio 6.1.1.1.2.1

Sottrai $V$ da $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = V^{2} + 1 + 0$

Passaggio 6.1.1.1.2.2

Somma $V^{2} + 1$ e $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = V^{2} + 1$

Passaggio 6.1.1.2

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d V}{d x} = V^{2} + 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d V}{d x} = V^{2} + 1$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V^{2}}{x} + \frac{1}{x}$

Passaggio 6.1.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 6.1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V^{2}}{x} + \frac{1}{x}$

Passaggio 6.1.1.2.2.1.2

Dividi $\frac{d V}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{2}}{x} + \frac{1}{x}$

Passaggio 6.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{2} + 1}{x}$

Passaggio 6.1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{V^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{x}$

Passaggio 6.1.4

Elimina il fattore comune di $V^{2} + 1$ .

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Passaggio 6.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{x}$

Passaggio 6.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Passaggio 6.1.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{V^{2} + 1} d V = \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 6.2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{V^{2} + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 6.2.2.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 6.2.2.1.1

Riordina $V^{2}$ e $1$ .

$\int \frac{1}{1 + V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.1.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.2

L'integrale di $\frac{1}{1^{2} + V^{2}}$ rispetto a $V$ è $\arctan (V) + C_{1}$ .

$\arctan (V) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\arctan (V) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 6.2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\arctan (V) = \ln (| x |) + C$

Passaggio 6.3

Trova l'arcotangente inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $V$ da dentro l'arcotangente.

$V = \tan (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 7

Sostituisci $\frac{y}{x}$ a $V$ .

$\frac{y}{x} = \tan (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 8

Risolvi $\frac{y}{x} = \tan (\ln (| x |) + C)$ per $y$ .

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Passaggio 8.1

Moltiplica ogni lato per $x$ .

$\frac{y}{x} x = \tan (\ln (| x |) + C) x$

Passaggio 8.2

Semplifica.

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Passaggio 8.2.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 8.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{x} x = \tan (\ln (| x |) + C) x$

Passaggio 8.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \tan (\ln (| x |) + C) x$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 8.2.2.1

Riordina i fattori in $\tan (\ln (| x |) + C) x$ .

$y = x \tan (\ln (| x |) + C)$