Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x - 2} y = {(x - 2)}^{2}$

Passaggio 1

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = \frac{2}{x - 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{2}{x - 2} d x}$

Passaggio 1.2

Integra $\frac{2}{x - 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$e^{2 \int \frac{1}{x - 2} d x}$

Passaggio 1.2.2

Sia $u = x - 2$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Sia $u = x - 2$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1

Differenzia $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Passaggio 1.2.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.2.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 1.2.2.1.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 1.2.2.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 1.2.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{2 \int \frac{1}{u} d u}$

Passaggio 1.2.3

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$e^{2 (\ln (| u |) + C)}$

Passaggio 1.2.4

Semplifica.

$e^{2 \ln (| u |) + C}$

Passaggio 1.2.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 2$ .

$e^{2 \ln (| x - 2 |) + C}$

Passaggio 1.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{2 \ln (x - 2)}$

Passaggio 1.4

Usa la regola della potenza logaritmica.

$e^{\ln ({(x - 2)}^{2})}$

Passaggio 1.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

${(x - 2)}^{2}$

Passaggio 1.6

Riscrivi ${(x - 2)}^{2}$ come $(x - 2) (x - 2)$ .

$(x - 2) (x - 2)$

Passaggio 1.7

Espandi $(x - 2) (x - 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$x (x - 2) - 2 (x - 2)$

Passaggio 1.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)$

Passaggio 1.7.3

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Passaggio 1.8

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Passaggio 1.8.1.2

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x$ .

$x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2$

Passaggio 1.8.1.3

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$x^{2} - 2 x - 2 x + 4$

Passaggio 1.8.2

Sottrai $2 x$ da $- 2 x$ .

$x^{2} - 4 x + 4$

Passaggio 2

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $x^{2} - 4 x + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine per $x^{2} - 4 x + 4$ .

$(x^{2} - 4 x + 4) \frac{d y}{d x} + (x^{2} - 4 x + 4) (\frac{2}{x - 2} y) = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

Passaggio 2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + (x^{2} - 4 x + 4) (\frac{2}{x - 2} y) = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

Passaggio 2.2.2

$\frac{2}{x - 2}$ e $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + (x^{2} - 4 x + 4) \frac{2 y}{x - 2} = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $x^{2} - 4 x + 4$ per $\frac{2 y}{x - 2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + \frac{(x^{2} - 4 x + 4) (2 y)}{x - 2} = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

Passaggio 2.2.4

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + \frac{(x^{2} - 4 x + 2^{2}) \cdot 2 y}{x - 2} = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

Passaggio 2.2.4.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Passaggio 2.2.4.3

Riscrivi il polinomio.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + \frac{(x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) \cdot 2 y}{x - 2} = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

Passaggio 2.2.4.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 2$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + \frac{{(x - 2)}^{2} \cdot 2 y}{x - 2} = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

Passaggio 2.2.5

Elimina il fattore comune di ${(x - 2)}^{2}$ e $x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Scomponi $x - 2$ da ${(x - 2)}^{2} \cdot 2 y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + \frac{(x - 2) ((x - 2) \cdot 2 y)}{x - 2} = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

Passaggio 2.2.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.2.1

Moltiplica per $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + \frac{(x - 2) ((x - 2) \cdot 2 y)}{(x - 2) \cdot 1} = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

Passaggio 2.2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + \frac{(x - 2) ((x - 2) \cdot 2 y)}{(x - 2) \cdot 1} = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

Passaggio 2.2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + \frac{(x - 2) \cdot 2 y}{1} = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

Passaggio 2.2.5.2.4

Dividi $(x - 2) \cdot 2 y$ per $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + (x - 2) \cdot 2 y = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

Passaggio 2.2.6

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + (x \cdot 2 - 2 \cdot 2) y = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

Passaggio 2.2.7

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + (2 \cdot x - 2 \cdot 2) y = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

Passaggio 2.2.8

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + (2 \cdot x - 4) y = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

Passaggio 2.2.9

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = (x^{2} - 4 x + 4) {(x - 2)}^{2}$

Passaggio 2.3

Riscrivi ${(x - 2)}^{2}$ come $(x - 2) (x - 2)$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = (x^{2} - 4 x + 4) ((x - 2) (x - 2))$

Passaggio 2.4

Espandi $(x - 2) (x - 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = (x^{2} - 4 x + 4) (x (x - 2) - 2 (x - 2))$

Passaggio 2.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = (x^{2} - 4 x + 4) (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2))$

Passaggio 2.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = (x^{2} - 4 x + 4) (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Passaggio 2.5

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = (x^{2} - 4 x + 4) (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Passaggio 2.5.1.2

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = (x^{2} - 4 x + 4) (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Passaggio 2.5.1.3

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = (x^{2} - 4 x + 4) (x^{2} - 2 x - 2 x + 4)$

Passaggio 2.5.2

Sottrai $2 x$ da $- 2 x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = (x^{2} - 4 x + 4) (x^{2} - 4 x + 4)$

Passaggio 2.6

Espandi $(x^{2} - 4 x + 4) (x^{2} - 4 x + 4)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{2} x^{2} + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4 - 4 x \cdot x^{2} - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{2 + 2} + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4 - 4 x \cdot x^{2} - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.7.1.2

Somma $2$ e $2$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4 - 4 x \cdot x^{2} - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.7.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{2} x + x^{2} \cdot 4 - 4 x \cdot x^{2} - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.7.3

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.3.1

Sposta $x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 4 - 4 x \cdot x^{2} - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.7.3.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 4 - 4 x \cdot x^{2} - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.7.3.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 4 - 4 x \cdot x^{2} - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.7.3.3

Somma $1$ e $2$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{3} + x^{2} \cdot 4 - 4 x \cdot x^{2} - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.7.4

Sposta $4$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{3} + 4 \cdot x^{2} - 4 x \cdot x^{2} - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.7.5

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.5.1

Sposta $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 4 (x^{2} x) - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.7.5.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.5.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 4 (x^{2} x^{1}) - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.7.5.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{2 + 1} - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.7.5.3

Somma $2$ e $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{3} - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.7.6

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{3} - 4 \cdot - 4 x \cdot x - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.7.7

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.7.1

Sposta $x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{3} - 4 \cdot - 4 (x \cdot x) - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.7.7.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{3} - 4 \cdot - 4 x^{2} - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.7.8

Moltiplica $- 4$ per $- 4$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.7.9

Moltiplica $4$ per $- 4$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{3} + 16 x^{2} - 16 x + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.7.10

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{3} + 16 x^{2} - 16 x + 4 x^{2} - 16 x + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.7.11

Moltiplica $4$ per $4$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x^{3} + 16 x^{2} - 16 x + 4 x^{2} - 16 x + 16$

Passaggio 2.8

Sottrai $4 x^{3}$ da $- 4 x^{3}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 8 x^{3} + 4 x^{2} + 16 x^{2} - 16 x + 4 x^{2} - 16 x + 16$

Passaggio 2.9

Somma $4 x^{2}$ e $16 x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 8 x^{3} + 20 x^{2} - 16 x + 4 x^{2} - 16 x + 16$

Passaggio 2.10

Somma $20 x^{2}$ e $4 x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 16 x - 16 x + 16$

Passaggio 2.11

Sottrai $16 x$ da $- 16 x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 x \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 2 x y - 4 y = x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 32 x + 16$

Passaggio 3

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 4 x + 4) y] = x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 32 x + 16$

Passaggio 4

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [(x^{2} - 4 x + 4) y] d x = \int x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 32 x + 16 d x$

Passaggio 5

Integra il lato sinistro.

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \int x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 32 x + 16 d x$

Passaggio 6

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \int x^{4} d x + \int - 8 x^{3} d x + \int 24 x^{2} d x + \int - 32 x d x + \int 16 d x$

Passaggio 6.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} + C + \int - 8 x^{3} d x + \int 24 x^{2} d x + \int - 32 x d x + \int 16 d x$

Passaggio 6.3

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 8$ fuori dall'integrale.

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} + C - 8 \int x^{3} d x + \int 24 x^{2} d x + \int - 32 x d x + \int 16 d x$

Passaggio 6.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} + C - 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 24 x^{2} d x + \int - 32 x d x + \int 16 d x$

Passaggio 6.5

Poiché $24$ è costante rispetto a $x$ , sposta $24$ fuori dall'integrale.

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} + C - 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 24 \int x^{2} d x + \int - 32 x d x + \int 16 d x$

Passaggio 6.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} + C - 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 24 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 32 x d x + \int 16 d x$

Passaggio 6.7

Poiché $- 32$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 32$ fuori dall'integrale.

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} + C - 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 24 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 32 \int x d x + \int 16 d x$

Passaggio 6.8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} + C - 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 24 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 32 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 16 d x$

Passaggio 6.9

Applica la regola costante.

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} + C - 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 24 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 32 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 16 x + C$

Passaggio 6.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.10.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.10.1.1

$\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} + C - 8 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 32 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 16 x + C$

Passaggio 6.10.1.2

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} + C - 8 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 32 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 16 x + C$

Passaggio 6.10.1.3

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} + C - 8 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 32 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 16 x + C$

Passaggio 6.10.2

Semplifica.

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{x^{5}}{5} - 2 x^{4} + 8 x^{3} - 16 x^{2} + 16 x + C$

Passaggio 6.10.3

Riordina i termini.

$(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} - 2 x^{4} + 8 x^{3} - 16 x^{2} + 16 x + C$

Passaggio 7

Dividi per $x^{2} - 4 x + 4$ ciascun termine in $(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} - 2 x^{4} + 8 x^{3} - 16 x^{2} + 16 x + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Dividi per $x^{2} - 4 x + 4$ ciascun termine in $(x^{2} - 4 x + 4) y = \frac{1}{5} x^{5} - 2 x^{4} + 8 x^{3} - 16 x^{2} + 16 x + C$ .

$\frac{(x^{2} - 4 x + 4) y}{x^{2} - 4 x + 4} = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 2 x^{4}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2} - 4 x + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 7.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 2 x^{4}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

Passaggio 7.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.1

$\frac{1}{5}$ e $x^{5}$ .

$y = \frac{\frac{x^{5}}{5}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 2 x^{4}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

Passaggio 7.3.1.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.2.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{\frac{x^{5}}{5}}{x^{2} - 4 x + 2^{2}} + \frac{- 2 x^{4}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

Passaggio 7.3.1.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Passaggio 7.3.1.2.3

Riscrivi il polinomio.

$y = \frac{\frac{x^{5}}{5}}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}} + \frac{- 2 x^{4}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

Passaggio 7.3.1.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 2$ .

$y = \frac{\frac{x^{5}}{5}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{- 2 x^{4}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

Passaggio 7.3.1.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y = \frac{x^{5}}{5} \cdot \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{- 2 x^{4}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

Passaggio 7.3.1.4

Combina.

$y = \frac{x^{5} \cdot 1}{5 {(x - 2)}^{2}} + \frac{- 2 x^{4}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

Passaggio 7.3.1.5

Moltiplica $x^{5}$ per $1$ .

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} + \frac{- 2 x^{4}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

Passaggio 7.3.1.6

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.6.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} + \frac{- 2 x^{4}}{x^{2} - 4 x + 2^{2}} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

Passaggio 7.3.1.6.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Passaggio 7.3.1.6.3

Riscrivi il polinomio.

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} + \frac{- 2 x^{4}}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

Passaggio 7.3.1.6.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 2$ .

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} + \frac{- 2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

Passaggio 7.3.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

Passaggio 7.3.1.8

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.8.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 4 x + 2^{2}} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

Passaggio 7.3.1.8.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Passaggio 7.3.1.8.3

Riscrivi il polinomio.

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

Passaggio 7.3.1.8.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 2$ .

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

Passaggio 7.3.1.9

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.9.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 4 x + 2^{2}} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

Passaggio 7.3.1.9.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Passaggio 7.3.1.9.3

Riscrivi il polinomio.

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{- 16 x^{2}}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

Passaggio 7.3.1.9.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 2$ .

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{- 16 x^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

Passaggio 7.3.1.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{16 x^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

Passaggio 7.3.1.11

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.11.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{16 x^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{16 x}{x^{2} - 4 x + 2^{2}} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

Passaggio 7.3.1.11.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Passaggio 7.3.1.11.3

Riscrivi il polinomio.

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{16 x^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{16 x}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

Passaggio 7.3.1.11.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 2$ .

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{16 x^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{16 x}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 4}$

Passaggio 7.3.1.12

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.12.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{16 x^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{16 x}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{C}{x^{2} - 4 x + 2^{2}}$

Passaggio 7.3.1.12.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Passaggio 7.3.1.12.3

Riscrivi il polinomio.

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{16 x^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{16 x}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{C}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}}$

Passaggio 7.3.1.12.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 2$ .

$y = \frac{x^{5}}{5 {(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{8 x^{3}}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{16 x^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{16 x}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{C}{{(x - 2)}^{2}}$