Calcolo Esempi

$(1 + e^{2 x}) d x - e^{x} y^{2} d y = 0$

Passaggio 1

Sottrai $(1 + e^{2 x}) d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- e^{x} y^{2} d y = - (1 + e^{2 x}) d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{e^{x}}$ .

$\frac{1}{e^{x}} (- e^{x} y^{2}) d y = \frac{1}{e^{x}} (- (1 + e^{2 x})) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- \frac{1}{e^{x}} (e^{x} y^{2}) d y = \frac{1}{e^{x}} (- (1 + e^{2 x})) d x$

Passaggio 3.2

Elimina il fattore comune di $e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{e^{x}}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{e^{x}} (e^{x} y^{2}) d y = \frac{1}{e^{x}} (- (1 + e^{2 x})) d x$

Passaggio 3.2.2

Scomponi $e^{x}$ da $e^{x} y^{2}$ .

$\frac{- 1}{e^{x}} (e^{x} (y^{2})) d y = \frac{1}{e^{x}} (- (1 + e^{2 x})) d x$

Passaggio 3.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{e^{x}} (e^{x} y^{2}) d y = \frac{1}{e^{x}} (- (1 + e^{2 x})) d x$

Passaggio 3.2.4

Riscrivi l'espressione.

$- y^{2} d y = \frac{1}{e^{x}} (- (1 + e^{2 x})) d x$

Passaggio 3.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- y^{2} d y = - \frac{1}{e^{x}} (1 + e^{2 x}) d x$

Passaggio 3.4

Applica la proprietà distributiva.

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} \cdot 1 - \frac{1}{e^{x}} e^{2 x}) d x$

Passaggio 3.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - \frac{1}{e^{x}} e^{2 x}) d x$

Passaggio 3.6

$e^{2 x}$ e $\frac{1}{e^{x}}$ .

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - \frac{e^{2 x}}{e^{x}}) d x$

Passaggio 3.7

Elimina il fattore comune di $e^{2 x}$ e $e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Scomponi $e^{x}$ da $e^{2 x}$ .

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - \frac{e^{x} e^{x}}{e^{x}}) d x$

Passaggio 3.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.1

Moltiplica per $1$ .

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - \frac{e^{x} e^{x}}{e^{x} \cdot 1}) d x$

Passaggio 3.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - \frac{e^{x} e^{x}}{e^{x} \cdot 1}) d x$

Passaggio 3.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - \frac{e^{x}}{1}) d x$

Passaggio 3.7.2.4

Dividi $e^{x}$ per $1$ .

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - e^{x}) d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int - y^{2} d y = \int - \frac{1}{e^{x}} - e^{x} d x$

Passaggio 4.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int y^{2} d y = \int - \frac{1}{e^{x}} - e^{x} d x$

Passaggio 4.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) = \int - \frac{1}{e^{x}} - e^{x} d x$

Passaggio 4.2.3

Riscrivi $- (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1})$ come $- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{e^{x}} - e^{x} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{e^{x}} d x + \int - e^{x} d x$

Passaggio 4.3.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int \frac{1}{e^{x}} d x + \int - e^{x} d x$

Passaggio 4.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Nega l'esponente di $e^{x}$ e rimuovilo dal denominatore.

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int 1 {(e^{x})}^{- 1} d x + \int - e^{x} d x$

Passaggio 4.3.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{x})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int 1 e^{x \cdot - 1} d x + \int - e^{x} d x$

Passaggio 4.3.3.2.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int 1 e^{- 1 \cdot x} d x + \int - e^{x} d x$

Passaggio 4.3.3.2.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int 1 e^{- x} d x + \int - e^{x} d x$

Passaggio 4.3.3.2.2

Moltiplica $e^{- x}$ per $1$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int e^{- x} d x + \int - e^{x} d x$

Passaggio 4.3.4

Sia $u = - x$ . Allora $d u = - d x$ , quindi $- d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Sia $u = - x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1.1

Differenzia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 4.3.4.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.3.4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 4.3.4.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 4.3.4.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int - e^{u} d u + \int - e^{x} d x$

Passaggio 4.3.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - - \int e^{u} d u + \int - e^{x} d x$

Passaggio 4.3.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = 1 \int e^{u} d u + \int - e^{x} d x$

Passaggio 4.3.6.2

Moltiplica $\int e^{u} d u$ per $1$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int e^{u} d u + \int - e^{x} d x$

Passaggio 4.3.7

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = e^{u} + C_{2} + \int - e^{x} d x$

Passaggio 4.3.8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = e^{u} + C_{2} - \int e^{x} d x$

Passaggio 4.3.9

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = e^{u} + C_{2} - (e^{x} + C_{3})$

Passaggio 4.3.10

Semplifica.

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = e^{u} - e^{x} + C_{4}$

Passaggio 4.3.11

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = e^{- x} - e^{x} + C_{4}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} = e^{- x} - e^{x} + K$

Passaggio 5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $- 3$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} y^{3}) = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

Passaggio 5.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Semplifica $- 3 (- \frac{1}{3} y^{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

$y^{3}$ e $\frac{1}{3}$ .

$- 3 (- \frac{y^{3}}{3}) = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

Passaggio 5.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{y^{3}}{3}$ nel numeratore.

$- 3 \frac{- y^{3}}{3} = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

Passaggio 5.2.1.1.2.2

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$3 (- 1) \frac{- y^{3}}{3} = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

Passaggio 5.2.1.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$3 \cdot - 1 \frac{- y^{3}}{3} = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

Passaggio 5.2.1.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$- - y^{3} = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

Passaggio 5.2.1.1.3

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 y^{3} = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

Passaggio 5.2.1.1.3.2

Moltiplica $y^{3}$ per $1$ .

$y^{3} = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Semplifica $- 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y^{3} = - 3 e^{- x} - 3 (- e^{x}) - 3 K$

Passaggio 5.2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$y^{3} = - 3 e^{- x} + 3 e^{x} - 3 K$

Passaggio 5.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \sqrt[3]{- 3 e^{- x} + 3 e^{x} - 3 K}$

Passaggio 5.4

Scomponi $3$ da $- 3 e^{- x} + 3 e^{x} - 3 K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Scomponi $3$ da $- 3 e^{- x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- e^{- x}) + 3 e^{x} - 3 K}$

Passaggio 5.4.2

Scomponi $3$ da $3 e^{x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- e^{- x}) + 3 (e^{x}) - 3 K}$

Passaggio 5.4.3

Scomponi $3$ da $- 3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- e^{- x}) + 3 (e^{x}) + 3 (- K)}$

Passaggio 5.4.4

Scomponi $3$ da $3 (- e^{- x}) + 3 (e^{x})$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- e^{- x} + e^{x}) + 3 (- K)}$

Passaggio 5.4.5

Scomponi $3$ da $3 (- e^{- x} + e^{x}) + 3 (- K)$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- e^{- x} + e^{x} - K)}$

Passaggio 6

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \sqrt[3]{3 (- e^{- x} + e^{x} + K)}$