Calcolo Esempi

$(1 + y) d x + (1 - x^{2}) d y = 0$

Passaggio 1

Sottrai

$(1 + y) d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$(1 - x^{2}) d y = - (1 + y) d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per

$\frac{1}{(1 - x^{2}) (1 + y)}$ .

$\frac{1}{(1 - x^{2}) (1 + y)} (1 - x^{2}) d y = \frac{1}{(1 - x^{2}) (1 + y)} (- (1 + y)) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di

$1 - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{(1 - x^{2}) (1 + y)} (1 - x^{2}) d y = \frac{1}{(1 - x^{2}) (1 + y)} (- (1 + y)) d x$

Passaggio 3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{1}{(1 - x^{2}) (1 + y)} (- (1 + y)) d x$

Passaggio 3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{1 + y} d y = - \frac{1}{(1 - x^{2}) (1 + y)} (1 + y) d x$

Passaggio 3.3

Elimina il fattore comune di

$1 + y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sposta il negativo all'inizio di

$- \frac{1}{(1 - x^{2}) (1 + y)}$ nel numeratore.

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{- 1}{(1 - x^{2}) (1 + y)} (1 + y) d x$

Passaggio 3.3.2

Scomponi

$1 + y$ da

$(1 - x^{2}) (1 + y)$ .

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{- 1}{(1 + y) (1 - x^{2})} (1 + y) d x$

Passaggio 3.3.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{- 1}{(1 + y) (1 - x^{2})} (1 + y) d x$

Passaggio 3.3.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{- 1}{1 - x^{2}} d x$

Passaggio 3.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi

$1$ come

$1^{2}$ .

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{- 1}{1^{2} - x^{2}} d x$

Passaggio 3.4.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove

$a = 1$ e

$b = x$ .

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{- 1}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Passaggio 3.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{1 + y} d y = - \frac{1}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{1 + y} d y = \int - \frac{1}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Passaggio 4.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sia

$u_{1} = 1 + y$ . Allora

$d u_{1} = d y$ . Riscrivi usando

$u_{1}$ e

$d$

$u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Sia

$u_{1} = 1 + y$ . Trova

$\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.1

Differenzia

$1 + y$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y]$

Passaggio 4.2.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di

$1 + y$ rispetto a

$y$ è

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 4.2.1.1.3

Poiché

$1$ è costante rispetto a

$y$ , la derivata di

$1$ rispetto a

$y$ è

$0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 4.2.1.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è

$n y^{n - 1}$ dove

$n = 1$ .

$0 + 1$

Passaggio 4.2.1.1.5

Somma

$0$ e

$1$ .

$1$

Passaggio 4.2.1.2

Riscrivi il problema usando

$u_{1}$ e

$d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Passaggio 4.2.2

L'integrale di

$\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a

$u_{1}$ è

$\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Passaggio 4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di

$u_{1}$ con

$1 + y$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché

$- 1$ è costante rispetto a

$x$ , sposta

$- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Passaggio 4.3.2

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto

$A$ .

$\frac{A}{1 + x}$

Passaggio 4.3.2.1.2

$B$ .

$\frac{A}{1 + x} + \frac{B}{1 - x}$

Passaggio 4.3.2.1.3

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è

$(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{1 (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Passaggio 4.3.2.1.4

Elimina il fattore comune di

$1 + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Passaggio 4.3.2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Passaggio 4.3.2.1.5

Elimina il fattore comune di

$1 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Passaggio 4.3.2.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Passaggio 4.3.2.1.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.6.1

Elimina il fattore comune di

$1 + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$1 = \frac{A (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Passaggio 4.3.2.1.6.1.2

Dividi

$(A) (1 - x)$ per

$1$ .

$1 = (A) (1 - x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Passaggio 4.3.2.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A \cdot 1 + A (- x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Passaggio 4.3.2.1.6.3

Moltiplica

$A$ per

$1$ .

$1 = A + A (- x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Passaggio 4.3.2.1.6.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$1 = A - A x + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Passaggio 4.3.2.1.6.5

Elimina il fattore comune di

$1 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.6.5.1

Elimina il fattore comune.

$1 = A - A x + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Passaggio 4.3.2.1.6.5.2

Dividi

$(B) (1 + x)$ per

$1$ .

$1 = A - A x + (B) (1 + x)$

Passaggio 4.3.2.1.6.6

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A - A x + B \cdot 1 + B x$

Passaggio 4.3.2.1.6.7

Moltiplica

$B$ per

$1$ .

$1 = A - A x + B + B x$

Passaggio 4.3.2.1.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.7.1

Sposta

$A$ .

$1 = A - x A + B + B x$

Passaggio 4.3.2.1.7.2

Riordina

$B$ e

$x$ .

$1 = A - x A + B + B x$

Passaggio 4.3.2.1.7.3

Sposta

$B$ .

$1 = A - x A + B x + B$

Passaggio 4.3.2.1.7.4

Sposta

$A$ .

$1 = - x A + B x + A + B$

Passaggio 4.3.2.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di

$x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = - 1 A + B$

Passaggio 4.3.2.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono

$x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = A + B$

Passaggio 4.3.2.2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = - 1 A + B$

$1 = A + B$

$0 = - 1 A + B$

$1 = A + B$

Passaggio 4.3.2.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.1

Risolvi per

$A$ in

$1 = A + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.1.1

Riscrivi l'equazione come

$A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$0 = - 1 A + B$

Passaggio 4.3.2.3.1.2

Sottrai

$B$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = 1 - B$

$0 = - 1 A + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 A + B$

Passaggio 4.3.2.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di

$A$ con

$1 - B$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di

$A$ in

$0 = - 1 A + B$ con

$1 - B$ .

$0 = - 1 (1 - B) + B$

$A = 1 - B$

Passaggio 4.3.2.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.2.2.1

Semplifica

$- 1 (1 - B) + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.2.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$0 = - 1 \cdot 1 - 1 (- B) + B$

$A = 1 - B$

Passaggio 4.3.2.3.2.2.1.1.2

Moltiplica

$- 1$ per

$1$ .

$0 = - 1 - 1 (- B) + B$

$A = 1 - B$

Passaggio 4.3.2.3.2.2.1.1.3

Moltiplica

$- 1 (- B)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.2.2.1.1.3.1

Moltiplica

$- 1$ per

$- 1$ .

$0 = - 1 + 1 B + B$

$A = 1 - B$

Passaggio 4.3.2.3.2.2.1.1.3.2

Moltiplica

$B$ per

$1$ .

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

Passaggio 4.3.2.3.2.2.1.2

Somma

$B$ e

$B$ .

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

Passaggio 4.3.2.3.3

Risolvi per

$B$ in

$0 = - 1 + 2 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.3.1

Riscrivi l'equazione come

$- 1 + 2 B = 0$ .

$- 1 + 2 B = 0$

$A = 1 - B$

Passaggio 4.3.2.3.3.2

Somma

$1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 B = 1$

$A = 1 - B$

Passaggio 4.3.2.3.3.3

Dividi per

$2$ ciascun termine in

$2 B = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.3.3.1

Dividi per

$2$ ciascun termine in

$2 B = 1$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Passaggio 4.3.2.3.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Passaggio 4.3.2.3.3.3.2.1.2

Dividi

$B$ per

$1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Passaggio 4.3.2.3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di

$B$ con

$\frac{1}{2}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di

$B$ in

$A = 1 - B$ con

$\frac{1}{2}$ .

$A = 1 - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

Passaggio 4.3.2.3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.4.2.1

Semplifica

$1 - (\frac{1}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.4.2.1.1

Scrivi

$1$ come una frazione con un comune denominatore.

$A = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Passaggio 4.3.2.3.4.2.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A = \frac{2 - 1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Passaggio 4.3.2.3.4.2.1.3

Sottrai

$1$ da

$2$ .

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Passaggio 4.3.2.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$A = \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

Passaggio 4.3.2.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in

$\frac{A}{1 + x} + \frac{B}{1 - x}$ con i valori trovati per

$A$ e

$B$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Passaggio 4.3.2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.5.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Passaggio 4.3.2.5.2

Moltiplica

$\frac{1}{2}$ per

$\frac{1}{1 + x}$ .

$\frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Passaggio 4.3.2.5.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - x}$

Passaggio 4.3.2.5.4

Moltiplica

$\frac{1}{2}$ per

$\frac{1}{1 - x}$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{1}{2 (1 - x)} d x$

Passaggio 4.3.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\int \frac{1}{2 (1 + x)} d x + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Passaggio 4.3.4

Poiché

$\frac{1}{2}$ è costante rispetto a

$x$ , sposta

$\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + x} d x + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Passaggio 4.3.5

Sia

$u_{2} = 1 + x$ . Allora

$d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando

$u_{2}$ e

$d$

$u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Sia

$u_{2} = 1 + x$ . Trova

$\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1.1

Differenzia

$1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Passaggio 4.3.5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di

$1 + x$ rispetto a

$x$ è

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.3.5.1.3

Poiché

$1$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$1$ rispetto a

$x$ è

$0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.3.5.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = 1$ .

$0 + 1$

Passaggio 4.3.5.1.5

Somma

$0$ e

$1$ .

$1$

Passaggio 4.3.5.2

Riscrivi il problema usando

$u_{2}$ e

$d u_{2}$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Passaggio 4.3.6

L'integrale di

$\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a

$u_{2}$ è

$\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Passaggio 4.3.7

Poiché

$\frac{1}{2}$ è costante rispetto a

$x$ , sposta

$\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 - x} d x)$

Passaggio 4.3.8

Sia

$u_{3} = 1 - x$ . Allora

$d u_{3} = - d x$ , quindi

$- d u_{3} = d x$ . Riscrivi usando

$u_{3}$ e

$d$

$u_{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.8.1

Sia

$u_{3} = 1 - x$ . Trova

$\frac{d u_{3}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.8.1.1

Riscrivi.

$\frac{- 1}{1}$

Passaggio 4.3.8.1.2

Dividi

$- 1$ per

$1$ .

$- 1$

Passaggio 4.3.8.2

Riscrivi il problema usando

$u_{3}$ e

$d u_{3}$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} \int \frac{- 1}{u_{3}} d u_{3})$

Passaggio 4.3.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} \int - \frac{1}{u_{3}} d u_{3})$

Passaggio 4.3.10

Poiché

$- 1$ è costante rispetto a

$u_{3}$ , sposta

$- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} (- \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}))$

Passaggio 4.3.11

L'integrale di

$\frac{1}{u_{3}}$ rispetto a

$u_{3}$ è

$\ln (| u_{3} |)$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} (- (\ln (| u_{3} |) + C_{3})))$

Passaggio 4.3.12

Semplifica.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{\ln (| u_{2} |)}{2} - \frac{\ln (| u_{3} |)}{2}) + C_{4}$

Passaggio 4.3.13

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.13.1

Sostituisci tutte le occorrenze di

$u_{2}$ con

$1 + x$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{\ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{\ln (| u_{3} |)}{2}) + C_{4}$

Passaggio 4.3.13.2

Sostituisci tutte le occorrenze di

$u_{3}$ con

$1 - x$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{\ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{\ln (| 1 - x |)}{2}) + C_{4}$

Passaggio 4.3.14

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.14.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - \frac{\ln (| 1 + x |) - \ln (| 1 - x |)}{2} + C_{4}$

Passaggio 4.3.14.2

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi,

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - \frac{\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} + C_{4}$

Passaggio 4.3.15

Riordina i termini.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |}) + C_{4}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come

$C$ .

$\ln (| 1 + y |) = - \frac{1}{2} \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |}) + C$

Passaggio 5

Risolvi per

$y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

$\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})$ e

$\frac{1}{2}$ .

$\ln (| 1 + y |) = - \frac{\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} + C$

Passaggio 5.2

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| 1 + y |) + \frac{\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} = C$

Passaggio 5.3

Per scrivere

$\ln (| 1 + y |)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

$\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 1 + y |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} = C$

Passaggio 5.4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

$\ln (| 1 + y |)$ e

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| 1 + y |) \cdot 2}{2} + \frac{\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} = C$

Passaggio 5.4.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\ln (| 1 + y |) \cdot 2 + \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} = C$

Passaggio 5.5

Sposta

$2$ alla sinistra di

$\ln (| 1 + y |)$ .

$\frac{2 \ln (| 1 + y |) + \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} = C$

Passaggio 5.6

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Semplifica

$\frac{2 \ln (| 1 + y |) + \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.1.1

Semplifica

$2 \ln (| 1 + y |)$ spostando

$2$ all'interno del logaritmo.

$\frac{\ln ({| 1 + y |}^{2}) + \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} = C$

Passaggio 5.6.1.1.2

Rimuovi il valore assoluto in

${| 1 + y |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$\frac{\ln ({(1 + y)}^{2}) + \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} = C$

Passaggio 5.6.1.1.3

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi,

$\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln ({(1 + y)}^{2} \frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} = C$

Passaggio 5.6.1.1.4

${(1 + y)}^{2}$ e

$\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |}$ .

$\frac{\ln (\frac{{(1 + y)}^{2} | 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} = C$

Passaggio 5.6.1.2

Riscrivi

$\frac{\ln (\frac{{(1 + y)}^{2} | 1 + x |}{| 1 - x |})}{2}$ come

$\frac{1}{2} \ln (\frac{{(1 + y)}^{2} | 1 + x |}{| 1 - x |})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{{(1 + y)}^{2} | 1 + x |}{| 1 - x |}) = C$

Passaggio 5.6.1.3

Semplifica

$\frac{1}{2} \ln (\frac{{(1 + y)}^{2} | 1 + x |}{| 1 - x |})$ spostando

$\frac{1}{2}$ all'interno del logaritmo.

$\ln ({(\frac{{(1 + y)}^{2} | 1 + x |}{| 1 - x |})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Passaggio 5.6.1.4

Usa la regola della potenza

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.4.1

Applica la regola del prodotto a

$\frac{{(1 + y)}^{2} | 1 + x |}{| 1 - x |}$ .

$\ln (\frac{{({(1 + y)}^{2} | 1 + x |)}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Passaggio 5.6.1.4.2

Applica la regola del prodotto a

${(1 + y)}^{2} | 1 + x |$ .

$\ln (\frac{{({(1 + y)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Passaggio 5.6.1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.5.1

Moltiplica gli esponenti in

${({(1 + y)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.5.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{{(1 + y)}^{2 (\frac{1}{2})} {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Passaggio 5.6.1.5.1.2

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.5.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (\frac{{(1 + y)}^{2 (\frac{1}{2})} {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Passaggio 5.6.1.5.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (\frac{{(1 + y)}^{1} {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Passaggio 5.6.1.5.2

Semplifica.

$\ln (\frac{(1 + y) {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Passaggio 5.6.1.6

Riordina i fattori in

$\ln (\frac{(1 + y) {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}})$ .

$\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y)}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Passaggio 5.7

Per risolvere per

$y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y)}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}})} = e^{C}$

Passaggio 5.8

Riscrivi

$\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y)}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se

$x$ e

$b$ sono numeri reali positivi e

$b \neq 1$ , allora

$\log_{b} (x) = y$ è equivalente a

$b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{{| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y)}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5.9

Risolvi per

$y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.1

Riscrivi l'equazione come

$\frac{{| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y)}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$ .

$\frac{{| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y)}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$

Passaggio 5.9.2

Moltiplica ogni lato per

${| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y)}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 5.9.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.3.1

Semplifica

$\frac{{| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y)}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.3.1.1

Elimina il fattore comune di

${| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{{| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y)}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 5.9.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

${| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y) = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 5.9.3.1.2

Applica la proprietà distributiva.

${| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} y = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 5.9.3.1.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.3.1.3.1

Moltiplica

${| 1 + x |}^{\frac{1}{2}}$ per

$1$ .

${| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} + {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} y = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 5.9.3.1.3.2

Riordina i fattori in

${| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} + {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} y$ .

${| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} + y {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 5.9.3.1.3.3

Riordina

$1$ e

$x$ .

${| x + 1 |}^{\frac{1}{2}} + y {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 5.9.3.1.3.4

Riordina

$1$ e

$x$ .

${| x + 1 |}^{\frac{1}{2}} + y {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 5.9.3.1.3.5

Riordina

${| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ e

$y {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ .

$y {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 5.9.4

Risolvi per

$y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.4.1

Sottrai

${| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}} - {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 5.9.4.2

Dividi per

${| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ ciascun termine in

$y {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}} - {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.4.2.1

Dividi per

${| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ ciascun termine in

$y {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}} - {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5.9.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5.9.4.2.2.2

Dividi

$y$ per

$1$ .

$y = \frac{e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5.9.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.4.2.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}} - {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{C {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}} - {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$