Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d t} = 2 \sqrt{t}$ , $y (1) = 4$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = 2 \sqrt{t} d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int 2 \sqrt{t} d t$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int 2 \sqrt{t} d t$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 2 \int \sqrt{t} d t$

Passaggio 2.3.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{t}$ come $t^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = 2 \int t^{\frac{1}{2}} d t$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $t^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $t$ è $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

Passaggio 2.3.4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 2.3.4.1

Riscrivi $2 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ come $2 (\frac{2}{3}) t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{2}{3}) t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.4.2

Semplifica.

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Passaggio 2.3.4.2.1

$2$ e $\frac{2}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.4.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y + C_{1} = \frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = \frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $t$ con $1$ e $y$ con $4$ in $y = \frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} + K$ .

$4 = \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + K = 4$ .

$\frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + K = 4$

Passaggio 4.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{4}{3} \cdot 1 + K = 4$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $\frac{4}{3}$ per $1$ .

$\frac{4}{3} + K = 4$

Passaggio 4.3

Sposta tutti i termini non contenenti $K$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.3.1

Sottrai $\frac{4}{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$K = 4 - \frac{4}{3}$

Passaggio 4.3.2

Per scrivere $4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$K = 4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

Passaggio 4.3.3

$4$ e $\frac{3}{3}$ .

$K = \frac{4 \cdot 3}{3} - \frac{4}{3}$

Passaggio 4.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$K = \frac{4 \cdot 3 - 4}{3}$

Passaggio 4.3.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.3.5.1

Moltiplica $4$ per $3$ .

$K = \frac{12 - 4}{3}$

Passaggio 4.3.5.2

Sottrai $4$ da $12$ .

$K = \frac{8}{3}$

Passaggio 5

Sostituisci $\frac{8}{3}$ a $K$ in $y = \frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} + K$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $\frac{8}{3}$ a $K$ .

$y = \frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{8}{3}$

Passaggio 5.2

$\frac{4}{3}$ e $t^{\frac{3}{2}}$ .

$y = \frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{8}{3}$