Calcolo Esempi

$\frac{d N}{d t} N = N t e^{t + 2}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per $N$ ciascun termine in $\frac{d N}{d t} N = N t e^{t + 2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Dividi per $N$ ciascun termine in $\frac{d N}{d t} N = N t e^{t + 2}$ .

$\frac{\frac{d N}{d t} N}{N} = \frac{N t e^{t + 2}}{N}$

Passaggio 1.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Elimina il fattore comune di $N$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d N}{d t} N}{N} = \frac{N t e^{t + 2}}{N}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Dividi $\frac{d N}{d t}$ per $1$ .

$\frac{d N}{d t} = \frac{N t e^{t + 2}}{N}$

Passaggio 1.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Elimina il fattore comune di $N$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d N}{d t} = \frac{N t e^{t + 2}}{N}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Dividi $t e^{t + 2}$ per $1$ .

$\frac{d N}{d t} = t e^{t + 2}$

Passaggio 1.2

Riscrivi l'equazione.

$d N = t e^{t + 2} d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d N = \int t e^{t + 2} d t$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$N + C_{1} = \int t e^{t + 2} d t$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = t$ e $d v = e^{t + 2}$ .

$N + C_{1} = t e^{t + 2} - \int e^{t + 2} d t$

Passaggio 2.3.2

Sia $u = t + 2$ . Allora $d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sia $u = t + 2$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Differenzia $t + 2$ .

$\frac{d}{d t} [t + 2]$

Passaggio 2.3.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $t + 2$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]$

Passaggio 2.3.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [2]$

Passaggio 2.3.2.1.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2$ rispetto a $t$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.3.2.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$N + C_{1} = t e^{t + 2} - \int e^{u} d u$

Passaggio 2.3.3

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$N + C_{1} = t e^{t + 2} - (e^{u} + C_{2})$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

$N + C_{1} = t e^{t + 2} - e^{u} + C_{2}$

Passaggio 2.3.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $t + 2$ .

$N + C_{1} = t e^{t + 2} - e^{t + 2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.6

Riordina i termini.

$N + C_{1} = e^{t + 2} t - e^{t + 2} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$N = e^{t + 2} t - e^{t + 2} + K$