Calcolo Esempi

$(x^{2} + y^{2} + x) d x + (x y) d y = 0$

Passaggio 1

Scrivi il problema come espressione matematica.

$(x^{2} + y^{2} + x) d x + (x y) d y = 0$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = x^{2} + y^{2} + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2} + x]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + y^{2} + x$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x]$

Passaggio 2.3

Poiché $x^{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x^{2}$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + \frac{d}{d y} [x]$

Passaggio 2.5

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + 0$

Passaggio 2.6

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Somma $0$ e $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 0$

Passaggio 2.6.2

Somma $2 y$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Passaggio 3

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 3.2

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $x y$ rispetto a $x$ è $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1$

Passaggio 3.4

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y$

Passaggio 4

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $2 y$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $y$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$2 y = y$

Passaggio 4.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$2 y = y$ non è un'identità.

Passaggio 5

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci $2 y$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Passaggio 5.2

Sostituisci $y$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 y - y}{N}$

Passaggio 5.3

Sostituisci $x y$ a $N$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sostituisci $x y$ a $N$ .

$\frac{2 y - y}{x y}$

Passaggio 5.3.2

Sottrai $y$ da $2 y$ .

$\frac{y}{x y}$

Passaggio 5.3.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{x y}$

Passaggio 5.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{x}$

Passaggio 5.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 6

Valuta l'integrale $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

Passaggio 6.2

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

Passaggio 6.2.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = | x | + C$

Passaggio 7

Moltiplica entrambi i lati di $(x^{2} + y^{2} + x) d x + x y d y = 0$ per il fattore di integrazione $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica $x^{2} + y^{2} + x$ per $x$ .

$(x^{2} + y^{2} + x) x d x + x y d y = 0$

Passaggio 7.2

Applica la proprietà distributiva.

$(x^{2} x + y^{2} x + x \cdot x) d x + x y d y = 0$

Passaggio 7.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$(x^{2} x^{1} + y^{2} x + x \cdot x) d x + x y d y = 0$

Passaggio 7.3.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(x^{2 + 1} + y^{2} x + x \cdot x) d x + x y d y = 0$

Passaggio 7.3.1.2

Somma $2$ e $1$ .

$(x^{3} + y^{2} x + x \cdot x) d x + x y d y = 0$

Passaggio 7.3.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$(x^{3} + y^{2} x + x^{2}) d x + x y d y = 0$

Passaggio 7.4

Moltiplica $x y$ per $x$ .

$(x^{3} + y^{2} x + x^{2}) d x + x y x d y = 0$

Passaggio 7.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Sposta $x$ .

$(x^{3} + y^{2} x + x^{2}) d x + x \cdot x y d y = 0$

Passaggio 7.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$(x^{3} + y^{2} x + x^{2}) d x + x^{2} y d y = 0$

Passaggio 8

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{2} y d y$

Passaggio 9

Integra $N (x, y) = x^{2} y$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Poiché $x^{2}$ è costante rispetto a $y$ , sposta $x^{2}$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = x^{2} \int y d y$

Passaggio 9.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Passaggio 9.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Riscrivi $x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ come $x^{2} \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = x^{2} \frac{1}{2} y^{2} + C$

Passaggio 9.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.1

$x^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} y^{2} + C$

Passaggio 9.3.2.2

$\frac{x^{2}}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} + C$

Passaggio 9.3.3

Riordina i termini.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + C$

Passaggio 10

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (x)$

Passaggio 11

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Passaggio 12

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Passaggio 12.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Passaggio 12.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Passaggio 12.3.2

$\frac{x^{2}}{2}$ e $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Passaggio 12.3.3

Poiché $\frac{y^{2}}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x^{2} y^{2}}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Passaggio 12.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{y^{2}}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Passaggio 12.3.5

$2$ e $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{2 y^{2}}{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Passaggio 12.3.6

$\frac{2 y^{2}}{2}$ e $x$ .

$\frac{2 y^{2} x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Passaggio 12.3.7

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.7.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y^{2} x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Passaggio 12.3.7.2

Dividi $y^{2} x$ per $1$ .

$y^{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Passaggio 12.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$y^{2} x + \frac{d g}{d x} = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Passaggio 12.5

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} x = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Passaggio 13

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Sottrai $y^{2} x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} = x^{3} + y^{2} x + x^{2} - y^{2} x$

Passaggio 13.1.2

Combina i termini opposti in $x^{3} + y^{2} x + x^{2} - y^{2} x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.2.1

Sottrai $y^{2} x$ da $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{3} + x^{2} + 0$

Passaggio 13.1.2.2

Somma $x^{3} + x^{2}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{3} + x^{2}$

Passaggio 14

Trova l'antiderivata di $x^{3} + x^{2}$ per trovare $g (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = x^{3} + x^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{3} + x^{2} d x$

Passaggio 14.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x^{3} + x^{2} d x$

Passaggio 14.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$g (x) = \int x^{3} d x + \int x^{2} d x$

Passaggio 14.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$g (x) = \frac{1}{4} x^{4} + C + \int x^{2} d x$

Passaggio 14.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = \frac{1}{4} x^{4} + C + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Passaggio 14.6

Semplifica.

$g (x) = \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Passaggio 15

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Passaggio 16

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} y^{2} + \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Passaggio 16.2

$\frac{x^{2}}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} + \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Passaggio 16.3

$\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Passaggio 16.4

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{3} + C$