Calcolo Esempi

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 4 y = \cos (2 x)$

Passaggio 1

Presupponi che tutte le soluzioni siano del tipo $y = e^{r x}$ .

Passaggio 2

Trova l'equazione caratteristica per $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 4 y = \cos (2 x)$ .

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Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

Passaggio 2.3

Sostituisci nell'equazione differenziale.

$r^{2} e^{r x} + 4 e^{r x} = \cos (2 x)$

Passaggio 2.4

Metti in evidenza $e^{r x}$ .

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Passaggio 2.4.1

Scomponi $e^{r x}$ da $r^{2} e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + 4 e^{r x} = \cos (2 x)$

Passaggio 2.4.2

Scomponi $e^{r x}$ da $4 e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot 4 = \cos (2 x)$

Passaggio 2.4.3

Scomponi $e^{r x}$ da $e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot 4$ .

$e^{r x} (r^{2} + 4) = \cos (2 x)$

Passaggio 2.5

Poiché gli esponenziali non possono mai essere zero, dividi entrambi i lati per $e^{r x}$ .

$r^{2} + 4 = \cos (2 x)$

Passaggio 3

Risolvi per $r$ .

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Passaggio 3.1

Usa l'identità a doppio angolo per trasformare $\cos (2 x)$ in $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$r^{2} + 4 = 1 - 2 \sin^{2} (x)$

Passaggio 3.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$r^{2} = 1 - 2 \sin^{2} (x) - 4$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.3.1

Sottrai $4$ da $1$ .

$r^{2} = - 3 - 2 \sin^{2} (x)$

Passaggio 3.4

Risolvi l'equazione per $r$ .

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Passaggio 3.4.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$r = \pm \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

Passaggio 3.4.2

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 3.4.2.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$r = \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

Passaggio 3.4.2.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.