Calcolo Esempi

$\frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y + (x y^{2} - y) d x = 0$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale per adattarla alla tecnica di equazione differenziale esatta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi.

$(x y^{2} - y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = x y^{2} - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{2} - y]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x y^{2} - y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d y} [x y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x y^{2}$ rispetto a $y$ è $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 y) + \frac{d}{d y} [- y]$

Passaggio 2.3.3

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + \frac{d}{d y} [- y]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d y} [- y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y - \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y - 1 \cdot 1$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y - 1$

Passaggio 3

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Scomponi $x$ da $3 x^{2} y - 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Scomponi $x$ da $3 x^{2} y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{x (3 x y) - 4 x}{2}]$

Passaggio 3.2.1.2

Scomponi $x$ da $- 4 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{x (3 x y) + x \cdot - 4}{2}]$

Passaggio 3.2.1.3

Scomponi $x$ da $x (3 x y) + x \cdot - 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{x (3 x y - 4)}{2}]$

Passaggio 3.2.2

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x (3 x y - 4)}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x (3 x y - 4)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x (3 x y - 4)]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = 3 x y - 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x \frac{d}{d x} [3 x y - 4] + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x y - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.4.2

Poiché $3 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x y$ rispetto a $x$ è $3 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (3 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (3 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.4.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (3 y + \frac{d}{d x} [- 4]) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.4.5

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (3 y + 0) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.4.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.6.1

Somma $3 y$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (3 y) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.4.6.2

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (3 \cdot x y + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.4.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (3 x y + (3 x y - 4) \cdot 1)$

Passaggio 3.4.8

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.8.1

Moltiplica $3 x y - 4$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (3 x y + 3 x y - 4)$

Passaggio 3.4.8.2

Somma $3 x y$ e $3 x y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (6 x y - 4)$

Passaggio 3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (6 x y) + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Passaggio 3.5.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

$6$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{6}{2} (x y) + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Passaggio 3.5.2.2

$x$ e $\frac{6}{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 6}{2} y + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Passaggio 3.5.2.3

$\frac{x \cdot 6}{2}$ e $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 6 y}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Passaggio 3.5.2.4

Sposta $6$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{6 \cdot x y}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Passaggio 3.5.2.5

Elimina il fattore comune di $6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.5.1

Scomponi $2$ da $6 x y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{2 (3 x y)}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Passaggio 3.5.2.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.5.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{2 (3 x y)}{2 (1)} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Passaggio 3.5.2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{2 (3 x y)}{2 \cdot 1} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Passaggio 3.5.2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{3 x y}{1} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Passaggio 3.5.2.5.2.4

Dividi $3 x y$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Passaggio 3.5.2.6

$\frac{1}{2}$ e $- 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{- 4}{2}$

Passaggio 3.5.2.7

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.7.1

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{2 \cdot - 2}{2}$

Passaggio 3.5.2.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.7.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Passaggio 3.5.2.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.2.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{- 2}{1}$

Passaggio 3.5.2.7.2.4

Dividi $- 2$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y - 2$

Passaggio 4

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $2 x y - 1$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $3 x y - 2$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$2 x y - 1 = 3 x y - 2$

Passaggio 4.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$2 x y - 1 = 3 x y - 2$ non è un'identità.

Passaggio 5

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci $3 x y - 2$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{3 x y - 2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Passaggio 5.2

Sostituisci $2 x y - 1$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{3 x y - 2 - (2 x y - 1)}{M}$

Passaggio 5.3

Sostituisci $x y^{2} - y$ a $M$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sostituisci $x y^{2} - y$ a $M$ .

$\frac{3 x y - 2 - (2 x y - 1)}{x y^{2} - y}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 x y - 2 - (2 x y) - - 1}{x y^{2} - y}$

Passaggio 5.3.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{3 x y - 2 - 2 (x y) - - 1}{x y^{2} - y}$

Passaggio 5.3.2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{3 x y - 2 - 2 (x y) + 1}{x y^{2} - y}$

Passaggio 5.3.2.4

Sottrai $2 x y$ da $3 x y$ .

$\frac{1 x y - 2 + 1}{x y^{2} - y}$

Passaggio 5.3.2.5

Somma $- 2$ e $1$ .

$\frac{1 x y - 1}{x y^{2} - y}$

Passaggio 5.3.2.6

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{x y - 1}{x y^{2} - y}$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $y$ da $x y^{2} - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Scomponi $y$ da $x y^{2}$ .

$\frac{x y - 1}{y (x y) - y}$

Passaggio 5.3.3.2

Scomponi $y$ da $- y$ .

$\frac{x y - 1}{y (x y) + y \cdot - 1}$

Passaggio 5.3.3.3

Scomponi $y$ da $y (x y) + y \cdot - 1$ .

$\frac{x y - 1}{y (x y - 1)}$

Passaggio 5.3.4

Sostituisci $x y^{2} - y$ a $M$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y - 1}{y (x y - 1)}$

Passaggio 5.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y}$

Passaggio 5.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{y} d y}$

Passaggio 6

Valuta l'integrale $e^{\int \frac{1}{y} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |) + C}$

Passaggio 6.2

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |)} + C$

Passaggio 6.2.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = | y | + C$

Passaggio 7

Moltiplica entrambi i lati di $(x y^{2} - y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$ per il fattore di integrazione $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica $x y^{2} - y$ per $y$ .

$(x y^{2} - y) y d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Passaggio 7.2

Applica la proprietà distributiva.

$(x y^{2} y - y \cdot y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Passaggio 7.3

Moltiplica $y^{2}$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Sposta $y$ .

$(x (y \cdot y^{2}) - y \cdot y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Passaggio 7.3.2

Moltiplica $y$ per $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$(x (y^{1} y^{2}) - y \cdot y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Passaggio 7.3.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(x y^{1 + 2} - y \cdot y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Passaggio 7.3.3

Somma $1$ e $2$ .

$(x y^{3} - y \cdot y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Passaggio 7.4

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Sposta $y$ .

$(x y^{3} - (y \cdot y)) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Passaggio 7.4.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Passaggio 7.5

Moltiplica $\frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2}$ per $y$ .

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} y d y = 0$

Passaggio 7.6

Scomponi $x$ da $3 x^{2} y - 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.1

Scomponi $x$ da $3 x^{2} y$ .

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{x (3 x y) - 4 x}{2} y d y = 0$

Passaggio 7.6.2

Scomponi $x$ da $- 4 x$ .

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{x (3 x y) + x \cdot - 4}{2} y d y = 0$

Passaggio 7.6.3

Scomponi $x$ da $x (3 x y) + x \cdot - 4$ .

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{x (3 x y - 4)}{2} y d y = 0$

Passaggio 7.7

$\frac{x (3 x y - 4)}{2}$ e $y$ .

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{x (3 x y - 4) y}{2} d y = 0$

Passaggio 7.8

Riordina i fattori in $\frac{x (3 x y - 4) y}{2}$ .

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{x y (3 x y - 4)}{2} d y = 0$

Passaggio 8

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x y (3 x y - 4)}{2} d y$

Passaggio 9

Integra $N (x, y) = \frac{x y (3 x y - 4)}{2}$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Poiché $\frac{x}{2}$ è costante rispetto a $y$ , sposta $\frac{x}{2}$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int y (3 x y - 4) d y$

Passaggio 9.2

Espandi $y (3 x y - 4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int y (3 x y) + y \cdot - 4 d y$

Passaggio 9.2.2

Sposta le parentesi.

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int y (3 x) y + y \cdot - 4 d y$

Passaggio 9.2.3

Rimuovi le parentesi.

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int y \cdot 3 x y + y \cdot - 4 d y$

Passaggio 9.2.4

Riordina $y$ e $3$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 \cdot y x y + y \cdot - 4 d y$

Passaggio 9.2.5

Riordina $y$ e $- 4$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 y x y - 4 y d y$

Passaggio 9.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 x (y^{1} y) - 4 y d y$

Passaggio 9.3.2

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 x (y^{1} y^{1}) - 4 y d y$

Passaggio 9.3.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 x y^{1 + 1} - 4 y d y$

Passaggio 9.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 x y^{2} - 4 y d y$

Passaggio 9.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$f (x, y) = \frac{x}{2} (\int 3 x y^{2} d y + \int - 4 y d y)$

Passaggio 9.5

Poiché $3 x$ è costante rispetto a $y$ , sposta $3 x$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x \int y^{2} d y + \int - 4 y d y)$

Passaggio 9.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int - 4 y d y)$

Passaggio 9.7

$\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x (\frac{y^{3}}{3} + C) + \int - 4 y d y)$

Passaggio 9.8

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 4$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x (\frac{y^{3}}{3} + C) - 4 \int y d y)$

Passaggio 9.9

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x (\frac{y^{3}}{3} + C) - 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C))$

Passaggio 9.10

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x (\frac{y^{3}}{3} + C) - 4 (\frac{y^{2}}{2} + C))$

Passaggio 9.11

Semplifica.

$f (x, y) = \frac{x}{2} (x y^{3} - 2 y^{2}) + C$

Passaggio 9.12

Riordina i termini.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + C$

Passaggio 10

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + g (x)$

Passaggio 11

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x y^{3} - y^{2}$

Passaggio 12

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Passaggio 12.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Passaggio 12.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2})]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1

$\frac{1}{2}$ e $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2} (x y^{3} - 2 y^{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Passaggio 12.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \frac{x}{2}$ e $g (x) = x y^{3} - 2 y^{2}$ .

$\frac{x}{2} \frac{d}{d x} [x y^{3} - 2 y^{2}] + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Passaggio 12.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x y^{3} - 2 y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$ .

$\frac{x}{2} (\frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]) + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Passaggio 12.3.4

Poiché $y^{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $x y^{3}$ rispetto a $x$ è $y^{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{2} (y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]) + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Passaggio 12.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x}{2} (y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]) + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Passaggio 12.3.6

Poiché $- 2 y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 y^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x}{2} (y^{3} \cdot 1 + 0) + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Passaggio 12.3.7

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{2} (y^{3} \cdot 1 + 0) + (x y^{3} - 2 y^{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Passaggio 12.3.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x}{2} (y^{3} \cdot 1 + 0) + (x y^{3} - 2 y^{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Passaggio 12.3.9

Moltiplica $y^{3}$ per $1$ .

$\frac{x}{2} (y^{3} + 0) + (x y^{3} - 2 y^{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Passaggio 12.3.10

Somma $y^{3}$ e $0$ .

$\frac{x}{2} y^{3} + (x y^{3} - 2 y^{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Passaggio 12.3.11

$\frac{x}{2}$ e $y^{3}$ .

$\frac{x y^{3}}{2} + (x y^{3} - 2 y^{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Passaggio 12.3.12

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{x y^{3}}{2} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Passaggio 12.3.13

Per scrivere $(x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x y^{3}}{2} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Passaggio 12.3.14

$(x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x y^{3}}{2} + \frac{(x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2} \cdot 2}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Passaggio 12.3.15

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x y^{3} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2} \cdot 2}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Passaggio 12.3.16

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x y^{3} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{2}{2}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Passaggio 12.3.17

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.17.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y^{3} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{2}{2}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Passaggio 12.3.17.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x y^{3} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \cdot 1}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Passaggio 12.3.18

Moltiplica $x y^{3} - 2 y^{2}$ per $1$ .

$\frac{x y^{3} + x y^{3} - 2 y^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Passaggio 12.3.19

Somma $x y^{3}$ e $x y^{3}$ .

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Passaggio 12.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2}}{2} + \frac{d g}{d x} = x y^{3} - y^{2}$

Passaggio 12.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.1

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.1.1

Per scrivere $\frac{d g}{d x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2}}{2} + \frac{d g}{d x} \cdot \frac{2}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Passaggio 12.5.1.2

$\frac{d g}{d x}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2}}{2} + \frac{\frac{d g}{d x} \cdot 2}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Passaggio 12.5.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2} + \frac{d g}{d x} \cdot 2}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Passaggio 12.5.1.4

Sposta $2$ alla sinistra di $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2} + 2 \cdot \frac{d g}{d x}}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Passaggio 12.5.1.5

Elimina il fattore comune di $2 x y^{3} - 2 y^{2} + 2 \frac{d g}{d x}$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.1.5.1

Scomponi $2$ da $2 x y^{3}$ .

$\frac{2 (x y^{3}) - 2 y^{2} + 2 \frac{d g}{d x}}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Passaggio 12.5.1.5.2

Scomponi $2$ da $- 2 y^{2}$ .

$\frac{2 (x y^{3}) + 2 (- y^{2}) + 2 \frac{d g}{d x}}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Passaggio 12.5.1.5.3

Scomponi $2$ da $2 (x y^{3}) + 2 (- y^{2})$ .

$\frac{2 (x y^{3} - y^{2}) + 2 \frac{d g}{d x}}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Passaggio 12.5.1.5.4

Scomponi $2$ da $2 \frac{d g}{d x}$ .

$\frac{2 (x y^{3} - y^{2}) + 2 (\frac{d g}{d x})}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Passaggio 12.5.1.5.5

Scomponi $2$ da $2 (x y^{3} - y^{2}) + 2 (\frac{d g}{d x})$ .

$\frac{2 (x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x})}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Passaggio 12.5.1.5.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.1.5.6.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x})}{2 (1)} = x y^{3} - y^{2}$

Passaggio 12.5.1.5.6.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x})}{2 \cdot 1} = x y^{3} - y^{2}$

Passaggio 12.5.1.5.6.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x}}{1} = x y^{3} - y^{2}$

Passaggio 12.5.1.5.6.4

Dividi $x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x}$ per $1$ .

$x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x} = x y^{3} - y^{2}$

Passaggio 12.5.2

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d x} - y^{2} + y^{3} x = x y^{3} - y^{2}$

Passaggio 13

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Somma $y^{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} + y^{3} x = x y^{3} - y^{2} + y^{2}$

Passaggio 13.1.2

Sottrai $y^{3} x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} = x y^{3} - y^{2} + y^{2} - y^{3} x$

Passaggio 13.1.3

Combina i termini opposti in $x y^{3} - y^{2} + y^{2} - y^{3} x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.3.1

Somma $- y^{2}$ e $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = x y^{3} + 0 - y^{3} x$

Passaggio 13.1.3.2

Somma $x y^{3}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x y^{3} - y^{3} x$

Passaggio 13.1.3.3

Riordina i fattori nei termini di $x y^{3}$ e $- y^{3} x$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{3} x - y^{3} x$

Passaggio 13.1.3.4

Sottrai $y^{3} x$ da $y^{3} x$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Passaggio 14

Trova l'antiderivata di $0$ per trovare $g (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Passaggio 14.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Passaggio 14.3

L'integrale di $0$ rispetto a $x$ è $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Passaggio 14.4

Somma $0$ e $C$ .

$g (x) = C$

Passaggio 15

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = \frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + C$

Passaggio 16

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

$\frac{1}{2}$ e $x$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} (x y^{3} - 2 y^{2}) + C$

Passaggio 16.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (x, y) = \frac{x}{2} (x y^{3}) + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

Passaggio 16.3

Moltiplica $\frac{x}{2} (x y^{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.3.1

$x$ e $\frac{x}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x \cdot x}{2} y^{3} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

Passaggio 16.3.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{1} x}{2} y^{3} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

Passaggio 16.3.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{1} x^{1}}{2} y^{3} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

Passaggio 16.3.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (x, y) = \frac{x^{1 + 1}}{2} y^{3} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

Passaggio 16.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} y^{3} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

Passaggio 16.3.6

$\frac{x^{2}}{2}$ e $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{3}}{2} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

Passaggio 16.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{3}}{2} - 2 \frac{x}{2} y^{2} + C$

Passaggio 16.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.5.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{3}}{2} + 2 (- 1) \frac{x}{2} y^{2} + C$

Passaggio 16.5.2

Elimina il fattore comune.

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{3}}{2} + 2 \cdot - 1 \frac{x}{2} y^{2} + C$

Passaggio 16.5.3

Riscrivi l'espressione.

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{3}}{2} - x y^{2} + C$