Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = e^{3 x} - x$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = (e^{3 x} - x) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int e^{3 x} - x d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int e^{3 x} - x d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = \int e^{3 x} d x + \int - x d x$

Passaggio 2.3.2

Sia $u = 3 x$ . Allora $d u = 3 d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Sia $u = 3 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.2.1.1

Differenzia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 2.3.2.1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Passaggio 2.3.2.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{3} d u + \int - x d x$

Passaggio 2.3.3

$e^{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{3} d u + \int - x d x$

Passaggio 2.3.4

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int e^{u} d u + \int - x d x$

Passaggio 2.3.5

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u} + C_{2}) + \int - x d x$

Passaggio 2.3.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u} + C_{2}) - \int x d x$

Passaggio 2.3.7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u} + C_{2}) - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Passaggio 2.3.8

Semplifica.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{u} - \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{3 x} - \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = \frac{1}{3} e^{3 x} - \frac{1}{2} x^{2} + K$