Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 6 x^{3}$ , $y (0) = 9$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = 6 x^{3} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int 6 x^{3} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int 6 x^{3} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , sposta $6$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 6 \int x^{3} d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$

Passaggio 2.3.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 2.3.3.1

Riscrivi $6 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$ come $6 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2

Semplifica.

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Passaggio 2.3.3.2.1

$6$ e $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{6}{4} x^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2

Elimina il fattore comune di $6$ e $4$ .

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Passaggio 2.3.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$y + C_{1} = \frac{2 (3)}{4} x^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.3.3.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} x^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} x^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y + C_{1} = \frac{3}{2} x^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = \frac{3}{2} x^{4} + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $0$ e $y$ con $9$ in $y = \frac{3}{2} x^{4} + K$ .

$9 = \frac{3}{2} \cdot 0^{4} + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{3}{2} \cdot 0^{4} + K = 9$ .

$\frac{3}{2} \cdot 0^{4} + K = 9$

Passaggio 4.2

Semplifica $\frac{3}{2} \cdot 0^{4} + K$ .

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot 0 + K = 9$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $\frac{3}{2}$ per $0$ .

$0 + K = 9$

Passaggio 4.2.2

Somma $0$ e $K$ .

$K = 9$

Passaggio 5

Sostituisci $9$ a $K$ in $y = \frac{3}{2} x^{4} + K$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $9$ a $K$ .

$y = \frac{3}{2} x^{4} + 9$

Passaggio 5.2

$\frac{3}{2}$ e $x^{4}$ .

$y = \frac{3 x^{4}}{2} + 9$