Calcolo Esempi

$(y^{5} - 4 x^{3} y^{4} - 10 x y + 2 y^{2} - 21) d x + (5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = y^{5} - 4 x^{3} y^{4} - 10 x y + 2 y^{2} - 21$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{5} - 4 x^{3} y^{4} - 10 x y + 2 y^{2} - 21]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{5} - 4 x^{3} y^{4} - 10 x y + 2 y^{2} - 21$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y^{5}] + \frac{d}{d y} [- 4 x^{3} y^{4}] + \frac{d}{d y} [- 10 x y] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 21]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{5}] + \frac{d}{d y} [- 4 x^{3} y^{4}] + \frac{d}{d y} [- 10 x y] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 21]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 5 y^{4} + \frac{d}{d y} [- 4 x^{3} y^{4}] + \frac{d}{d y} [- 10 x y] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 21]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [- 4 x^{3} y^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 4 x^{3}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 4 x^{3} y^{4}$ rispetto a $y$ è $- 4 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 5 y^{4} - 4 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [- 10 x y] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 21]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 5 y^{4} - 4 x^{3} (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [- 10 x y] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 21]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $4$ per $- 4$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} + \frac{d}{d y} [- 10 x y] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 21]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d y} [- 10 x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $- 10 x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 10 x y$ rispetto a $y$ è $- 10 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 21]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 21]$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $- 10$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 21]$

Passaggio 1.5

Calcola $\frac{d}{d y} [2 y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 y^{2}$ rispetto a $y$ è $2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + 2 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 21]$

Passaggio 1.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + 2 (2 y) + \frac{d}{d y} [- 21]$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + 4 y + \frac{d}{d y} [- 21]$

Passaggio 1.6

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Poiché $- 21$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 21$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + 4 y + 0$

Passaggio 1.6.2

Somma $5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + 4 y$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + 4 y$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [42]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [5 x y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [42]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x y^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $5 y^{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x y^{4}$ rispetto a $x$ è $5 y^{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [42]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [42]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $5$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [42]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{4} y^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $- 4 y^{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{4} y^{3}$ rispetto a $x$ è $- 4 y^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} - 4 y^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [42]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} - 4 y^{3} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [42]$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $4$ per $- 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} - 16 y^{3} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [42]$

Passaggio 2.5

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} - 16 y^{3} x^{3} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [42]$

Passaggio 2.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} - 16 y^{3} x^{3} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [42]$

Passaggio 2.5.3

Moltiplica $2$ per $- 5$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} - 16 y^{3} x^{3} - 10 x + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [42]$

Passaggio 2.6

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Poiché $4 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x y$ rispetto a $x$ è $4 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} - 16 y^{3} x^{3} - 10 x + 4 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [42]$

Passaggio 2.6.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} - 16 y^{3} x^{3} - 10 x + 4 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [42]$

Passaggio 2.6.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} - 16 y^{3} x^{3} - 10 x + 4 y + \frac{d}{d x} [42]$

Passaggio 2.7

Poiché $42$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $42$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} - 16 y^{3} x^{3} - 10 x + 4 y + 0$

Passaggio 2.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Somma $5 y^{4} - 16 y^{3} x^{3} - 10 x + 4 y$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} - 16 y^{3} x^{3} - 10 x + 4 y$

Passaggio 2.8.2

Riordina i termini.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + 4 y$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci $5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + 4 y$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + 4 y$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + 4 y = 5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + 4 y$

Passaggio 3.2

Dato che è stato dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + 4 y = 5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + 4 y$ è un'identità.

Passaggio 4

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y^{5} - 4 x^{3} y^{4} - 10 x y + 2 y^{2} - 21 d x$

Passaggio 5

Integra $M (x, y) = y^{5} - 4 x^{3} y^{4} - 10 x y + 2 y^{2} - 21$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$f (x, y) = \int y^{5} d x + \int - 4 x^{3} y^{4} d x + \int - 10 x y d x + \int 2 y^{2} d x + \int - 21 d x$

Passaggio 5.2

Applica la regola costante.

$f (x, y) = y^{5} x + C + \int - 4 x^{3} y^{4} d x + \int - 10 x y d x + \int 2 y^{2} d x + \int - 21 d x$

Passaggio 5.3

Poiché $- 4 y^{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 4 y^{4}$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = y^{5} x + C - 4 y^{4} \int x^{3} d x + \int - 10 x y d x + \int 2 y^{2} d x + \int - 21 d x$

Passaggio 5.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$f (x, y) = y^{5} x + C - 4 y^{4} (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 10 x y d x + \int 2 y^{2} d x + \int - 21 d x$

Passaggio 5.5

Poiché $- 10 y$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 10 y$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = y^{5} x + C - 4 y^{4} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 10 y \int x d x + \int 2 y^{2} d x + \int - 21 d x$

Passaggio 5.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = y^{5} x + C - 4 y^{4} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 10 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 2 y^{2} d x + \int - 21 d x$

Passaggio 5.7

Applica la regola costante.

$f (x, y) = y^{5} x + C - 4 y^{4} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 10 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 2 y^{2} x + C + \int - 21 d x$

Passaggio 5.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.1

$\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$f (x, y) = y^{5} x + C - 4 y^{4} (\frac{x^{4}}{4} + C) - 10 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 2 y^{2} x + C + \int - 21 d x$

Passaggio 5.8.2

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = y^{5} x + C - 4 y^{4} (\frac{x^{4}}{4} + C) - 10 y (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 y^{2} x + C + \int - 21 d x$

Passaggio 5.9

Applica la regola costante.

$f (x, y) = y^{5} x + C - 4 y^{4} (\frac{x^{4}}{4} + C) - 10 y (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 y^{2} x + C - 21 x + C$

Passaggio 5.10

Semplifica.

$f (x, y) = y^{5} x - y^{4} x^{4} - 5 y x^{2} + 2 y^{2} x - 21 x + C$

Passaggio 6

Poiché l'integrale di $g (y)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = y^{5} x - y^{4} x^{4} - 5 y x^{2} + 2 y^{2} x - 21 x + g (y)$

Passaggio 7

Imposta $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Passaggio 8

Trova $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Differenzia $f$ rispetto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{5} x - y^{4} x^{4} - 5 y x^{2} + 2 y^{2} x - 21 x + g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Passaggio 8.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{5} x - y^{4} x^{4} - 5 y x^{2} + 2 y^{2} x - 21 x + g (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y^{5} x] + \frac{d}{d y} [- y^{4} x^{4}] + \frac{d}{d y} [- 5 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2} x] + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{5} x] + \frac{d}{d y} [- y^{4} x^{4}] + \frac{d}{d y} [- 5 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2} x] + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Passaggio 8.3

Calcola $\frac{d}{d y} [y^{5} x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $y^{5} x$ rispetto a $y$ è $x \frac{d}{d y} [y^{5}]$ .

$x \frac{d}{d y} [y^{5}] + \frac{d}{d y} [- y^{4} x^{4}] + \frac{d}{d y} [- 5 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2} x] + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Passaggio 8.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$x (5 y^{4}) + \frac{d}{d y} [- y^{4} x^{4}] + \frac{d}{d y} [- 5 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2} x] + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Passaggio 8.3.3

Sposta $5$ alla sinistra di $x$ .

$5 x y^{4} + \frac{d}{d y} [- y^{4} x^{4}] + \frac{d}{d y} [- 5 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2} x] + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Passaggio 8.4

Calcola $\frac{d}{d y} [- y^{4} x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Poiché $- x^{4}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y^{4} x^{4}$ rispetto a $y$ è $- x^{4} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$5 x y^{4} - x^{4} \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [- 5 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2} x] + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Passaggio 8.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$5 x y^{4} - x^{4} (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [- 5 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2} x] + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Passaggio 8.4.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} + \frac{d}{d y} [- 5 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2} x] + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Passaggio 8.5

Calcola $\frac{d}{d y} [- 5 y x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.1

Poiché $- 5 x^{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 5 y x^{2}$ rispetto a $y$ è $- 5 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 y^{2} x] + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Passaggio 8.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2 y^{2} x] + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Passaggio 8.5.3

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + \frac{d}{d y} [2 y^{2} x] + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Passaggio 8.6

Calcola $\frac{d}{d y} [2 y^{2} x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.1

Poiché $2 x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 y^{2} x$ rispetto a $y$ è $2 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 2 x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Passaggio 8.6.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 2 x (2 y) + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Passaggio 8.6.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Passaggio 8.7

Poiché $- 21 x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 21 x$ rispetto a $y$ è $0$ .

$5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Passaggio 8.8

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (y)$ è $\frac{d g}{d y}$ .

$5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 0 + \frac{d g}{d y} = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Passaggio 8.9

Semplifica.

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Passaggio 8.9.1

Somma $5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y$ e $0$ .

$5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + \frac{d g}{d y} = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Passaggio 8.9.2

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d y} - 5 x^{2} + 5 y^{4} x - 4 x^{4} y^{3} + 4 x y = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Passaggio 9

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d y}$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 9.1.1

Somma $5 x^{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} + 5 y^{4} x - 4 x^{4} y^{3} + 4 x y = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42 + 5 x^{2}$

Passaggio 9.1.2

Sottrai $5 y^{4} x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} - 4 x^{4} y^{3} + 4 x y = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42 + 5 x^{2} - 5 y^{4} x$

Passaggio 9.1.3

Somma $4 x^{4} y^{3}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} + 4 x y = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42 + 5 x^{2} - 5 y^{4} x + 4 x^{4} y^{3}$

Passaggio 9.1.4

Sottrai $4 x y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42 + 5 x^{2} - 5 y^{4} x + 4 x^{4} y^{3} - 4 x y$

Passaggio 9.1.5

Combina i termini opposti in $5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42 + 5 x^{2} - 5 y^{4} x + 4 x^{4} y^{3} - 4 x y$ .

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Passaggio 9.1.5.1

Somma $- 5 x^{2}$ e $5 x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} + 4 x y + 42 + 0 - 5 y^{4} x + 4 x^{4} y^{3} - 4 x y$

Passaggio 9.1.5.2

Somma $5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} + 4 x y + 42$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} + 4 x y + 42 - 5 y^{4} x + 4 x^{4} y^{3} - 4 x y$

Passaggio 9.1.5.3

Riordina i fattori nei termini di $5 x y^{4}$ e $- 5 y^{4} x$ .

$\frac{d g}{d y} = 5 y^{4} x - 4 x^{4} y^{3} + 4 x y + 42 - 5 y^{4} x + 4 x^{4} y^{3} - 4 x y$

Passaggio 9.1.5.4

Sottrai $5 y^{4} x$ da $5 y^{4} x$ .

$\frac{d g}{d y} = - 4 x^{4} y^{3} + 4 x y + 42 + 0 + 4 x^{4} y^{3} - 4 x y$

Passaggio 9.1.5.5

Somma $- 4 x^{4} y^{3} + 4 x y + 42$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 4 x^{4} y^{3} + 4 x y + 42 + 4 x^{4} y^{3} - 4 x y$

Passaggio 9.1.5.6

Somma $- 4 x^{4} y^{3}$ e $4 x^{4} y^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} = 4 x y + 42 + 0 - 4 x y$

Passaggio 9.1.5.7

Somma $4 x y + 42$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 4 x y + 42 - 4 x y$

Passaggio 9.1.5.8

Sottrai $4 x y$ da $4 x y$ .

$\frac{d g}{d y} = 0 + 42$

Passaggio 9.1.5.9

Somma $0$ e $42$ .

$\frac{d g}{d y} = 42$

Passaggio 10

Trova l'antiderivata di $42$ per trovare $g (y)$ .

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Passaggio 10.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d y} = 42$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 42 d y$

Passaggio 10.2

Calcola $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 42 d y$

Passaggio 10.3

Applica la regola costante.

$g (y) = 42 y + C$

Passaggio 11

Sostituisci a $g (y)$ in $f (x, y) = y^{5} x - y^{4} x^{4} - 5 y x^{2} + 2 y^{2} x - 21 x + g (y)$ .

$f (x, y) = y^{5} x - y^{4} x^{4} - 5 y x^{2} + 2 y^{2} x - 21 x + 42 y + C$