Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = {(5 e^{x} - 7 e^{- x})}^{2}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = {(5 e^{x} - 7 e^{- x})}^{2} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int {(5 e^{x} - 7 e^{- x})}^{2} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int {(5 e^{x} - 7 e^{- x})}^{2} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi ${(5 e^{x} - 7 e^{- x})}^{2}$ come $(5 e^{x} - 7 e^{- x}) (5 e^{x} - 7 e^{- x})$ .

$y + C_{1} = \int (5 e^{x} - 7 e^{- x}) (5 e^{x} - 7 e^{- x}) d x$

Passaggio 2.3.1.2

Espandi $(5 e^{x} - 7 e^{- x}) (5 e^{x} - 7 e^{- x})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y + C_{1} = \int 5 e^{x} (5 e^{x} - 7 e^{- x}) - 7 e^{- x} (5 e^{x} - 7 e^{- x}) d x$

Passaggio 2.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$y + C_{1} = \int 5 e^{x} (5 e^{x}) + 5 e^{x} (- 7 e^{- x}) - 7 e^{- x} (5 e^{x} - 7 e^{- x}) d x$

Passaggio 2.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$y + C_{1} = \int 5 e^{x} (5 e^{x}) + 5 e^{x} (- 7 e^{- x}) - 7 e^{- x} (5 e^{x}) - 7 e^{- x} (- 7 e^{- x}) d x$

Passaggio 2.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y + C_{1} = \int 5 \cdot 5 e^{x} e^{x} + 5 e^{x} (- 7 e^{- x}) - 7 e^{- x} (5 e^{x}) - 7 e^{- x} (- 7 e^{- x}) d x$

Passaggio 2.3.1.3.1.2

Moltiplica $e^{x}$ per $e^{x}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1.2.1

Sposta $e^{x}$ .

$y + C_{1} = \int 5 \cdot 5 (e^{x} e^{x}) + 5 e^{x} (- 7 e^{- x}) - 7 e^{- x} (5 e^{x}) - 7 e^{- x} (- 7 e^{- x}) d x$

Passaggio 2.3.1.3.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y + C_{1} = \int 5 \cdot 5 e^{x + x} + 5 e^{x} (- 7 e^{- x}) - 7 e^{- x} (5 e^{x}) - 7 e^{- x} (- 7 e^{- x}) d x$

Passaggio 2.3.1.3.1.2.3

Somma $x$ e $x$ .

$y + C_{1} = \int 5 \cdot 5 e^{2 x} + 5 e^{x} (- 7 e^{- x}) - 7 e^{- x} (5 e^{x}) - 7 e^{- x} (- 7 e^{- x}) d x$

Passaggio 2.3.1.3.1.3

Moltiplica $5$ per $5$ .

$y + C_{1} = \int 25 e^{2 x} + 5 e^{x} (- 7 e^{- x}) - 7 e^{- x} (5 e^{x}) - 7 e^{- x} (- 7 e^{- x}) d x$

Passaggio 2.3.1.3.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y + C_{1} = \int 25 e^{2 x} + 5 \cdot - 7 e^{x} e^{- x} - 7 e^{- x} (5 e^{x}) - 7 e^{- x} (- 7 e^{- x}) d x$

Passaggio 2.3.1.3.1.5

Moltiplica $e^{x}$ per $e^{- x}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1.5.1

Sposta $e^{- x}$ .

$y + C_{1} = \int 25 e^{2 x} + 5 \cdot - 7 (e^{- x} e^{x}) - 7 e^{- x} (5 e^{x}) - 7 e^{- x} (- 7 e^{- x}) d x$

Passaggio 2.3.1.3.1.5.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y + C_{1} = \int 25 e^{2 x} + 5 \cdot - 7 e^{- x + x} - 7 e^{- x} (5 e^{x}) - 7 e^{- x} (- 7 e^{- x}) d x$

Passaggio 2.3.1.3.1.5.3

Somma $- x$ e $x$ .

$y + C_{1} = \int 25 e^{2 x} + 5 \cdot - 7 e^{0} - 7 e^{- x} (5 e^{x}) - 7 e^{- x} (- 7 e^{- x}) d x$

Passaggio 2.3.1.3.1.6

Semplifica $5 \cdot - 7 e^{0}$ .

$y + C_{1} = \int 25 e^{2 x} + 5 \cdot - 7 - 7 e^{- x} (5 e^{x}) - 7 e^{- x} (- 7 e^{- x}) d x$

Passaggio 2.3.1.3.1.7

Moltiplica $5$ per $- 7$ .

$y + C_{1} = \int 25 e^{2 x} - 35 - 7 e^{- x} (5 e^{x}) - 7 e^{- x} (- 7 e^{- x}) d x$

Passaggio 2.3.1.3.1.8

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y + C_{1} = \int 25 e^{2 x} - 35 - 7 \cdot 5 e^{- x} e^{x} - 7 e^{- x} (- 7 e^{- x}) d x$

Passaggio 2.3.1.3.1.9

Moltiplica $e^{- x}$ per $e^{x}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.3.1.3.1.9.1

Sposta $e^{x}$ .

$y + C_{1} = \int 25 e^{2 x} - 35 - 7 \cdot 5 (e^{x} e^{- x}) - 7 e^{- x} (- 7 e^{- x}) d x$

Passaggio 2.3.1.3.1.9.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y + C_{1} = \int 25 e^{2 x} - 35 - 7 \cdot 5 e^{x - x} - 7 e^{- x} (- 7 e^{- x}) d x$

Passaggio 2.3.1.3.1.9.3

Sottrai $x$ da $x$ .

$y + C_{1} = \int 25 e^{2 x} - 35 - 7 \cdot 5 e^{0} - 7 e^{- x} (- 7 e^{- x}) d x$

Passaggio 2.3.1.3.1.10

Semplifica $- 7 \cdot 5 e^{0}$ .

$y + C_{1} = \int 25 e^{2 x} - 35 - 7 \cdot 5 - 7 e^{- x} (- 7 e^{- x}) d x$

Passaggio 2.3.1.3.1.11

Moltiplica $- 7$ per $5$ .

$y + C_{1} = \int 25 e^{2 x} - 35 - 35 - 7 e^{- x} (- 7 e^{- x}) d x$

Passaggio 2.3.1.3.1.12

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y + C_{1} = \int 25 e^{2 x} - 35 - 35 - 7 \cdot - 7 e^{- x} e^{- x} d x$

Passaggio 2.3.1.3.1.13

Moltiplica $e^{- x}$ per $e^{- x}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.3.1.3.1.13.1

Sposta $e^{- x}$ .

$y + C_{1} = \int 25 e^{2 x} - 35 - 35 - 7 \cdot - 7 (e^{- x} e^{- x}) d x$

Passaggio 2.3.1.3.1.13.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y + C_{1} = \int 25 e^{2 x} - 35 - 35 - 7 \cdot - 7 e^{- x - x} d x$

Passaggio 2.3.1.3.1.13.3

Sottrai $x$ da $- x$ .

$y + C_{1} = \int 25 e^{2 x} - 35 - 35 - 7 \cdot - 7 e^{- 2 x} d x$

Passaggio 2.3.1.3.1.14

Moltiplica $- 7$ per $- 7$ .

$y + C_{1} = \int 25 e^{2 x} - 35 - 35 + 49 e^{- 2 x} d x$

Passaggio 2.3.1.3.2

Sottrai $35$ da $- 35$ .

$y + C_{1} = \int 25 e^{2 x} - 70 + 49 e^{- 2 x} d x$

Passaggio 2.3.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = \int 25 e^{2 x} d x + \int - 70 d x + \int 49 e^{- 2 x} d x$

Passaggio 2.3.3

Poiché $25$ è costante rispetto a $x$ , sposta $25$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 25 \int e^{2 x} d x + \int - 70 d x + \int 49 e^{- 2 x} d x$

Passaggio 2.3.4

Sia $u_{1} = 2 x$ . Allora $d u_{1} = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Passaggio 2.3.4.1

Sia $u_{1} = 2 x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.4.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.3.4.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 2.3.4.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 2.3.4.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$y + C_{1} = 25 \int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1} + \int - 70 d x + \int 49 e^{- 2 x} d x$

Passaggio 2.3.5

$e^{u_{1}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 25 \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int - 70 d x + \int 49 e^{- 2 x} d x$

Passaggio 2.3.6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 25 (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int - 70 d x + \int 49 e^{- 2 x} d x$

Passaggio 2.3.7

$\frac{1}{2}$ e $25$ .

$y + C_{1} = \frac{25}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 70 d x + \int 49 e^{- 2 x} d x$

Passaggio 2.3.8

L'integrale di $e^{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $e^{u_{1}}$ .

$y + C_{1} = \frac{25}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) + \int - 70 d x + \int 49 e^{- 2 x} d x$

Passaggio 2.3.9

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \frac{25}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 70 x + C_{3} + \int 49 e^{- 2 x} d x$

Passaggio 2.3.10

Poiché $49$ è costante rispetto a $x$ , sposta $49$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{25}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 70 x + C_{3} + 49 \int e^{- 2 x} d x$

Passaggio 2.3.11

Sia $u_{2} = - 2 x$ . Allora $d u_{2} = - 2 d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.11.1

Sia $u_{2} = - 2 x$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.11.1.1

Differenzia $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 2.3.11.1.2

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.11.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Passaggio 2.3.11.1.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2$

Passaggio 2.3.11.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{25}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 70 x + C_{3} + 49 \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Passaggio 2.3.12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.12.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y + C_{1} = \frac{25}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 70 x + C_{3} + 49 \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Passaggio 2.3.12.2

$e^{u_{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{25}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 70 x + C_{3} + 49 \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Passaggio 2.3.13

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{25}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 70 x + C_{3} + 49 (- \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

Passaggio 2.3.14

Moltiplica $- 1$ per $49$ .

$y + C_{1} = \frac{25}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 70 x + C_{3} - 49 \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Passaggio 2.3.15

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{25}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 70 x + C_{3} - 49 (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 2.3.16

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.16.1

$\frac{1}{2}$ e $- 49$ .

$y + C_{1} = \frac{25}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 70 x + C_{3} + \frac{- 49}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.16.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y + C_{1} = \frac{25}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 70 x + C_{3} - \frac{49}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.17

L'integrale di $e^{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $e^{u_{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{25}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 70 x + C_{3} - \frac{49}{2} (e^{u_{2}} + C_{4})$

Passaggio 2.3.18

Semplifica.

$y + C_{1} = \frac{25}{2} e^{u_{1}} - 70 x - \frac{49}{2} e^{u_{2}} + C_{5}$

Passaggio 2.3.19

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.19.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$y + C_{1} = \frac{25}{2} e^{2 x} - 70 x - \frac{49}{2} e^{u_{2}} + C_{5}$

Passaggio 2.3.19.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- 2 x$ .

$y + C_{1} = \frac{25}{2} e^{2 x} - 70 x - \frac{49}{2} e^{- 2 x} + C_{5}$

Passaggio 2.3.20

Riordina i termini.

$y + C_{1} = \frac{25}{2} e^{2 x} - \frac{49}{2} e^{- 2 x} - 70 x + C_{5}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = \frac{25}{2} e^{2 x} - \frac{49}{2} e^{- 2 x} - 70 x + K$