Calcolo Esempi

$\frac{d u}{d r} = \frac{1 + \sqrt{r}}{1 + \sqrt{u}}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $1 + \sqrt{u}$ .

$(1 + \sqrt{u}) \frac{d u}{d r} = (1 + \sqrt{u}) \frac{1 + \sqrt{r}}{1 + \sqrt{u}}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $1 + \sqrt{u}$ .

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Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$(1 + \sqrt{u}) \frac{d u}{d r} = (1 + \sqrt{u}) \frac{1 + \sqrt{r}}{1 + \sqrt{u}}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$(1 + \sqrt{u}) \frac{d u}{d r} = 1 + \sqrt{r}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$(1 + \sqrt{u}) d u = (1 + \sqrt{r}) d r$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int 1 + \sqrt{u} d u = \int 1 + \sqrt{r} d r$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int d u + \int \sqrt{u} d u = \int 1 + \sqrt{r} d r$

Passaggio 2.2.2

Applica la regola costante.

$u + C_{1} + \int \sqrt{u} d u = \int 1 + \sqrt{r} d r$

Passaggio 2.2.3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$u + C_{1} + \int u^{\frac{1}{2}} d u = \int 1 + \sqrt{r} d r$

Passaggio 2.2.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$u + C_{1} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2} = \int 1 + \sqrt{r} d r$

Passaggio 2.2.5

Semplifica.

$u + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{3} = \int 1 + \sqrt{r} d r$

Passaggio 2.2.6

Riordina i termini.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + u + C_{3} = \int 1 + \sqrt{r} d r$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + u + C_{3} = \int d r + \int \sqrt{r} d r$

Passaggio 2.3.2

Applica la regola costante.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + u + C_{3} = r + C_{4} + \int \sqrt{r} d r$

Passaggio 2.3.3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{r}$ come $r^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + u + C_{3} = r + C_{4} + \int r^{\frac{1}{2}} d r$

Passaggio 2.3.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $r^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $r$ è $\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + u + C_{3} = r + C_{4} + \frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C_{5}$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + u + C_{3} = r + \frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C_{6}$

Passaggio 2.3.6

Riordina i termini.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + u + C_{3} = \frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + r + C_{6}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + u = \frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + r + K$