Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d t} = y + t^{3}$

Passaggio 1

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d t} - y = t^{3}$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (t) d t}$ , dove $P (t) = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int - 1 d t}$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$e^{- t + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- t}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{- t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $e^{- t}$ .

$e^{- t} \frac{d y}{d t} + e^{- t} (- y) = e^{- t} t^{3}$

Passaggio 3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{- t} \frac{d y}{d t} - e^{- t} y = e^{- t} t^{3}$

Passaggio 3.3

Riordina i fattori in $e^{- t} \frac{d y}{d t} - e^{- t} y = e^{- t} t^{3}$ .

$e^{- t} \frac{d y}{d t} - y e^{- t} = t^{3} e^{- t}$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d t} [e^{- t} y] = t^{3} e^{- t}$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d t} [e^{- t} y] d t = \int t^{3} e^{- t} d t$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$e^{- t} y = \int t^{3} e^{- t} d t$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = t^{3}$ e $d v = e^{- t}$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) - \int - e^{- t} (3 t^{2}) d t$

Passaggio 7.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) - \int - 3 e^{- t} t^{2} d t$

Passaggio 7.3

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $t$ , sposta $- 3$ fuori dall'integrale.

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) - (- 3 \int e^{- t} t^{2} d t)$

Passaggio 7.4

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 \int e^{- t} t^{2} d t$

Passaggio 7.5

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = t^{2}$ e $d v = e^{- t}$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) - \int - e^{- t} (2 t) d t)$

Passaggio 7.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) - \int - 2 e^{- t} t d t)$

Passaggio 7.7

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $t$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) - (- 2 \int e^{- t} t d t))$

Passaggio 7.8

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 \int e^{- t} t d t)$

Passaggio 7.9

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = t$ e $d v = e^{- t}$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - \int - e^{- t} d t))$

Passaggio 7.10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - - \int e^{- t} d t))$

Passaggio 7.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.11.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) + 1 \int e^{- t} d t))$

Passaggio 7.11.2

Moltiplica $\int e^{- t} d t$ per $1$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) + \int e^{- t} d t))$

Passaggio 7.12

Sia $u = - t$ . Allora $d u = - d t$ , quindi $- d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.12.1

Sia $u = - t$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.12.1.1

Differenzia $- t$ .

$\frac{d}{d t} [- t]$

Passaggio 7.12.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- t$ rispetto a $t$ è $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 7.12.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 7.12.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 7.12.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) + \int - e^{u} d u))$

Passaggio 7.13

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - \int e^{u} d u))$

Passaggio 7.14

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - (e^{u} + C)))$

Passaggio 7.15

Riscrivi $t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - (e^{u} + C)))$ come $- t^{3} e^{- t} + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{u})) + C$ .

$e^{- t} y = - t^{3} e^{- t} + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{u})) + C$

Passaggio 7.16

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- t$ .

$e^{- t} y = - t^{3} e^{- t} + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{- t})) + C$

Passaggio 8

Dividi per $e^{- t}$ ciascun termine in $e^{- t} y = - t^{3} e^{- t} + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{- t})) + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Dividi per $e^{- t}$ ciascun termine in $e^{- t} y = - t^{3} e^{- t} + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{- t})) + C$ .

$\frac{e^{- t} y}{e^{- t}} = \frac{- t^{3} e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{- t}))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{- t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{- t} y}{e^{- t}} = \frac{- t^{3} e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{- t}))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- t^{3} e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{- t}))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Elimina il fattore comune di $e^{- t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{- t^{3} e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{- t}))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Passaggio 8.3.1.1.2

Dividi $- t^{3}$ per $1$ .

$y = - t^{3} + \frac{3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{- t}))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Passaggio 8.3.1.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y = - t^{3} + \frac{3 (- t^{2} e^{- t} + 2 (t (- e^{- t}) - e^{- t}))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Passaggio 8.3.1.2.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y = - t^{3} + \frac{3 (- t^{2} e^{- t} + 2 (- t e^{- t} - e^{- t}))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Passaggio 8.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = - t^{3} + \frac{3 (- t^{2} e^{- t} + 2 (- t e^{- t}) + 2 (- e^{- t}))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Passaggio 8.3.1.2.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$y = - t^{3} + \frac{3 (- t^{2} e^{- t} - 2 (t e^{- t}) + 2 (- e^{- t}))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Passaggio 8.3.1.2.5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$y = - t^{3} + \frac{3 (- t^{2} e^{- t} - 2 (t e^{- t}) - 2 e^{- t})}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Passaggio 8.3.1.2.6

Scomponi $e^{- t}$ da $- t^{2} e^{- t} - 2 t e^{- t} - 2 e^{- t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.2.6.1

Scomponi $e^{- t}$ da $- t^{2} e^{- t}$ .

$y = - t^{3} + \frac{3 (e^{- t} (- t^{2}) - 2 t e^{- t} - 2 e^{- t})}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Passaggio 8.3.1.2.6.2

Scomponi $e^{- t}$ da $- 2 t e^{- t}$ .

$y = - t^{3} + \frac{3 (e^{- t} (- t^{2}) + e^{- t} (- 2 t) - 2 e^{- t})}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Passaggio 8.3.1.2.6.3

Scomponi $e^{- t}$ da $- 2 e^{- t}$ .

$y = - t^{3} + \frac{3 (e^{- t} (- t^{2}) + e^{- t} (- 2 t) + e^{- t} \cdot - 2)}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Passaggio 8.3.1.2.6.4

Scomponi $e^{- t}$ da $e^{- t} (- t^{2}) + e^{- t} (- 2 t)$ .

$y = - t^{3} + \frac{3 (e^{- t} (- t^{2} - 2 t) + e^{- t} \cdot - 2)}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Passaggio 8.3.1.2.6.5

Scomponi $e^{- t}$ da $e^{- t} (- t^{2} - 2 t) + e^{- t} \cdot - 2$ .

$y = - t^{3} + \frac{3 (e^{- t} (- t^{2} - 2 t - 2))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

$y = - t^{3} + \frac{3 e^{- t} (- t^{2} - 2 t - 2)}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Passaggio 8.3.1.3

Elimina il fattore comune di $e^{- t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$y = - t^{3} + \frac{3 e^{- t} (- t^{2} - 2 t - 2)}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Passaggio 8.3.1.3.2

Dividi $3 (- t^{2} - 2 t - 2)$ per $1$ .

$y = - t^{3} + 3 (- t^{2} - 2 t - 2) + \frac{C}{e^{- t}}$

Passaggio 8.3.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$y = - t^{3} + 3 (- t^{2}) + 3 (- 2 t) + 3 \cdot - 2 + \frac{C}{e^{- t}}$

Passaggio 8.3.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$y = - t^{3} - 3 t^{2} + 3 (- 2 t) + 3 \cdot - 2 + \frac{C}{e^{- t}}$

Passaggio 8.3.1.5.2

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$y = - t^{3} - 3 t^{2} - 6 t + 3 \cdot - 2 + \frac{C}{e^{- t}}$

Passaggio 8.3.1.5.3

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$y = - t^{3} - 3 t^{2} - 6 t - 6 + \frac{C}{e^{- t}}$