Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d t} - y = 1$ , $y (0) = 1$

Passaggio 1

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (t) d t}$ , dove $P (t) = - 1$ .

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Passaggio 1.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int - 1 d t}$

Passaggio 1.2

Applica la regola costante.

$e^{- t + C}$

Passaggio 1.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- t}$

Passaggio 2

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{- t}$ .

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Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine per $e^{- t}$ .

$e^{- t} \frac{d y}{d t} + e^{- t} (- y) = e^{- t} \cdot 1$

Passaggio 2.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{- t} \frac{d y}{d t} - e^{- t} y = e^{- t} \cdot 1$

Passaggio 2.3

Moltiplica $e^{- t}$ per $1$ .

$e^{- t} \frac{d y}{d t} - e^{- t} y = e^{- t}$

Passaggio 2.4

Riordina i fattori in $e^{- t} \frac{d y}{d t} - e^{- t} y = e^{- t}$ .

$e^{- t} \frac{d y}{d t} - y e^{- t} = e^{- t}$

Passaggio 3

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d t} [e^{- t} y] = e^{- t}$

Passaggio 4

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d t} [e^{- t} y] d t = \int e^{- t} d t$

Passaggio 5

Integra il lato sinistro.

$e^{- t} y = \int e^{- t} d t$

Passaggio 6

Integra il lato destro.

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Passaggio 6.1

Sia $u = - t$ . Allora $d u = - d t$ , quindi $- d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 6.1.1

Sia $u = - t$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 6.1.1.1

Differenzia $- t$ .

$\frac{d}{d t} [- t]$

Passaggio 6.1.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- t$ rispetto a $t$ è $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 6.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 6.1.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 6.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{- t} y = \int - e^{u} d u$

Passaggio 6.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- t} y = - \int e^{u} d u$

Passaggio 6.3

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$e^{- t} y = - (e^{u} + C)$

Passaggio 6.4

Semplifica.

$e^{- t} y = - e^{u} + C$

Passaggio 6.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- t$ .

$e^{- t} y = - e^{- t} + C$

Passaggio 7

Dividi per $e^{- t}$ ciascun termine in $e^{- t} y = - e^{- t} + C$ e semplifica.

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Passaggio 7.1

Dividi per $e^{- t}$ ciascun termine in $e^{- t} y = - e^{- t} + C$ .

$\frac{e^{- t} y}{e^{- t}} = \frac{- e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{- t}$ .

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Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{- t} y}{e^{- t}} = \frac{- e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Passaggio 7.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Passaggio 7.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 7.3.1

Elimina il fattore comune di $e^{- t}$ .

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Passaggio 7.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{- e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Passaggio 7.3.1.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$y = - 1 + \frac{C}{e^{- t}}$

Passaggio 8

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $C$ sostituendo $t$ con $0$ e $y$ con $1$ in $y = - 1 + \frac{C}{e^{- t}}$ .

$1 = - 1 + \frac{C}{e^{0}}$

Passaggio 9

Risolvi per $C$ .

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Passaggio 9.1

Riscrivi l'equazione come $- 1 + \frac{C}{e^{0}} = 1$ .

$- 1 + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Passaggio 9.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 9.2.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$- 1 + \frac{C}{1} = 1$

Passaggio 9.2.2

Dividi $C$ per $1$ .

$- 1 + C = 1$

Passaggio 9.3

Sposta tutti i termini non contenenti $C$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 9.3.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$C = 1 + 1$

Passaggio 9.3.2

Somma $1$ e $1$ .

$C = 2$

Passaggio 10

Sostituisci $2$ a $C$ in $y = - 1 + \frac{C}{e^{- t}}$ e semplifica.

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Passaggio 10.1

Sostituisci $2$ a $C$ .

$y = - 1 + \frac{2}{e^{- t}}$