Calcolo Esempi

$\frac{d P}{d t} = r P$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{P}$ .

$\frac{1}{P} \frac{d P}{d t} = \frac{1}{P} (r P)$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $P$ .

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Passaggio 1.2.1

Scomponi $P$ da $r P$ .

$\frac{1}{P} \frac{d P}{d t} = \frac{1}{P} (P r)$

Passaggio 1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{P} \frac{d P}{d t} = \frac{1}{P} (P r)$

Passaggio 1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{P} \frac{d P}{d t} = r$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{P} d P = r d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{P} d P = \int r d t$

Passaggio 2.2

L'integrale di $\frac{1}{P}$ rispetto a $P$ è $\ln (| P |)$ .

$\ln (| P |) + C_{1} = \int r d t$

Passaggio 2.3

Applica la regola costante.

$\ln (| P |) + C_{1} = r t + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| P |) = r t + C$

Passaggio 3

Risolvi per $P$ .

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Passaggio 3.1

Per risolvere per $P$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| P |)} = e^{r t + C}$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\ln (| P |) = r t + C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{r t + C} = | P |$

Passaggio 3.3

Risolvi per $P$ .

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Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $| P | = e^{r t + C}$ .

$| P | = e^{r t + C}$

Passaggio 3.3.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$P = \pm e^{r t + C}$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

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Passaggio 4.1

Riscrivi $e^{r t + C}$ come $e^{r t} e^{C}$ .

$P = \pm e^{r t} e^{C}$

Passaggio 4.2

Riordina $e^{r t}$ e $e^{C}$ .

$P = \pm e^{C} e^{r t}$

Passaggio 4.3

Combina costanti con il più o il meno.

$P = C e^{r t}$