Calcolo Esempi

$x (t^{2} - 1) d t + (t^{3} - 3 t) d x = 0$

Passaggio 1

Sottrai $x (t^{2} - 1) d t$ da entrambi i lati dell'equazione.

$(t^{3} - 3 t) d x = - x (t^{2} - 1) d t$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{(t^{3} - 3 t) x}$ .

$\frac{1}{(t^{3} - 3 t) x} (t^{3} - 3 t) d x = \frac{1}{(t^{3} - 3 t) x} (- x (t^{2} - 1)) d t$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $t^{3} - 3 t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $t^{3} - 3 t$ da $(t^{3} - 3 t) x$ .

$\frac{1}{(t^{3} - 3 t) (x)} (t^{3} - 3 t) d x = \frac{1}{(t^{3} - 3 t) x} (- x (t^{2} - 1)) d t$

Passaggio 3.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{(t^{3} - 3 t) x} (t^{3} - 3 t) d x = \frac{1}{(t^{3} - 3 t) x} (- x (t^{2} - 1)) d t$

Passaggio 3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{x} d x = \frac{1}{(t^{3} - 3 t) x} (- x (t^{2} - 1)) d t$

Passaggio 3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{x} d x = - \frac{1}{(t^{3} - 3 t) x} (x (t^{2} - 1)) d t$

Passaggio 3.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{(t^{3} - 3 t) x}$ nel numeratore.

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 1}{(t^{3} - 3 t) x} (x (t^{2} - 1)) d t$

Passaggio 3.3.2

Scomponi $x$ da $(t^{3} - 3 t) x$ .

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 1}{x (t^{3} - 3 t)} (x (t^{2} - 1)) d t$

Passaggio 3.3.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 1}{x (t^{3} - 3 t)} (x (t^{2} - 1)) d t$

Passaggio 3.3.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 1}{t^{3} - 3 t} (t^{2} - 1) d t$

Passaggio 3.4

Scomponi $t$ da $t^{3} - 3 t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Scomponi $t$ da $t^{3}$ .

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 1}{t \cdot t^{2} - 3 t} (t^{2} - 1) d t$

Passaggio 3.4.2

Scomponi $t$ da $- 3 t$ .

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 1}{t \cdot t^{2} + t \cdot - 3} (t^{2} - 1) d t$

Passaggio 3.4.3

Scomponi $t$ da $t \cdot t^{2} + t \cdot - 3$ .

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 1}{t (t^{2} - 3)} (t^{2} - 1) d t$

Passaggio 3.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{x} d x = - \frac{1}{t (t^{2} - 3)} (t^{2} - 1) d t$

Passaggio 3.6

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{x} d x = (- \frac{1}{t (t^{2} - 3)} t^{2} - \frac{1}{t (t^{2} - 3)} \cdot - 1) d t$

Passaggio 3.7

Elimina il fattore comune di $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{t (t^{2} - 3)}$ nel numeratore.

$\frac{1}{x} d x = (\frac{- 1}{t (t^{2} - 3)} t^{2} - \frac{1}{t (t^{2} - 3)} \cdot - 1) d t$

Passaggio 3.7.2

Scomponi $t$ da $t^{2}$ .

$\frac{1}{x} d x = (\frac{- 1}{t (t^{2} - 3)} (t \cdot t) - \frac{1}{t (t^{2} - 3)} \cdot - 1) d t$

Passaggio 3.7.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{x} d x = (\frac{- 1}{t (t^{2} - 3)} (t \cdot t) - \frac{1}{t (t^{2} - 3)} \cdot - 1) d t$

Passaggio 3.7.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{x} d x = (\frac{- 1}{t^{2} - 3} t - \frac{1}{t (t^{2} - 3)} \cdot - 1) d t$

Passaggio 3.8

$\frac{- 1}{t^{2} - 3}$ e $t$ .

$\frac{1}{x} d x = (\frac{- t}{t^{2} - 3} - \frac{1}{t (t^{2} - 3)} \cdot - 1) d t$

Passaggio 3.9

Moltiplica $- \frac{1}{t (t^{2} - 3)} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1}{x} d x = (\frac{- t}{t^{2} - 3} + 1 \frac{1}{t (t^{2} - 3)}) d t$

Passaggio 3.9.2

Moltiplica $\frac{1}{t (t^{2} - 3)}$ per $1$ .

$\frac{1}{x} d x = (\frac{- t}{t^{2} - 3} + \frac{1}{t (t^{2} - 3)}) d t$

Passaggio 3.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{x} d x = (- \frac{t}{t^{2} - 3} + \frac{1}{t (t^{2} - 3)}) d t$

Passaggio 3.11

Per scrivere $- \frac{t}{t^{2} - 3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{t}{t}$ .

$\frac{1}{x} d x = (- \frac{t}{t^{2} - 3} \cdot \frac{t}{t} + \frac{1}{t (t^{2} - 3)}) d t$

Passaggio 3.12

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(t^{2} - 3) t$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.1

Moltiplica $\frac{t}{t^{2} - 3}$ per $\frac{t}{t}$ .

$\frac{1}{x} d x = (- \frac{t \cdot t}{(t^{2} - 3) t} + \frac{1}{t (t^{2} - 3)}) d t$

Passaggio 3.12.2

Riordina i fattori di $(t^{2} - 3) t$ .

$\frac{1}{x} d x = (- \frac{t \cdot t}{t (t^{2} - 3)} + \frac{1}{t (t^{2} - 3)}) d t$

Passaggio 3.13

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{x} d x = \frac{- t \cdot t + 1}{t (t^{2} - 3)} d t$

Passaggio 3.14

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.14.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{1}{x} d x = \frac{- t \cdot t + 1^{2}}{t (t^{2} - 3)} d t$

Passaggio 3.14.2

Riscrivi $t \cdot t$ come $t^{2}$ .

$\frac{1}{x} d x = \frac{- t^{2} + 1^{2}}{t (t^{2} - 3)} d t$

Passaggio 3.14.3

Riordina $- t^{2}$ e $1^{2}$ .

$\frac{1}{x} d x = \frac{1^{2} - t^{2}}{t (t^{2} - 3)} d t$

Passaggio 3.14.4

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = t$ .

$\frac{1}{x} d x = \frac{(1 + t) (1 - t)}{t (t^{2} - 3)} d t$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{x} d x = \int \frac{(1 + t) (1 - t)}{t (t^{2} - 3)} d t$

Passaggio 4.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = \int \frac{(1 + t) (1 - t)}{t (t^{2} - 3)} d t$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1.1

Per ogni fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore è di 2° ordine, sono necessari $2$ termini nel numeratore. Il numero di termini richiesti nel numeratore è sempre uguale all'ordine del fattore nel denominatore.

$\frac{A}{t} + \frac{B t + C}{t^{2} - 3}$

Passaggio 4.3.1.1.2

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $t (t^{2} - 3)$ .

$\frac{(1 + t) (1 - t) (t (t^{2} - 3))}{t (t^{2} - 3)} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Passaggio 4.3.1.1.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1.3.1

Elimina il fattore comune di $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(1 + t) (1 - t) (t (t^{2} - 3))}{t (t^{2} - 3)} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Passaggio 4.3.1.1.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(1 + t) (1 - t) (t^{2} - 3)}{t^{2} - 3} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Passaggio 4.3.1.1.3.2

Elimina il fattore comune di $t^{2} - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(1 + t) (1 - t) (t^{2} - 3)}{t^{2} - 3} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Passaggio 4.3.1.1.3.2.2

Dividi $(1 + t) (1 - t)$ per $1$ .

$(1 + t) (1 - t) = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Passaggio 4.3.1.1.4

Espandi $(1 + t) (1 - t)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$1 (1 - t) + t (1 - t) = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Passaggio 4.3.1.1.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 (- t) + t (1 - t) = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Passaggio 4.3.1.1.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 (- t) + t \cdot 1 + t (- t) = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Passaggio 4.3.1.1.5

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1.5.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$1 + 1 (- t) + t \cdot 1 + t (- t) = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Passaggio 4.3.1.1.5.1.2

Moltiplica $- t$ per $1$ .

$1 - t + t \cdot 1 + t (- t) = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Passaggio 4.3.1.1.5.1.3

Moltiplica $t$ per $1$ .

$1 - t + t + t (- t) = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Passaggio 4.3.1.1.5.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$1 - t + t - t \cdot t = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Passaggio 4.3.1.1.5.1.5

Moltiplica $t$ per $t$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1.5.1.5.1

Sposta $t$ .

$1 - t + t - (t \cdot t) = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Passaggio 4.3.1.1.5.1.5.2

Moltiplica $t$ per $t$ .

$1 - t + t - t^{2} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Passaggio 4.3.1.1.5.2

Somma $- t$ e $t$ .

$1 + 0 - t^{2} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Passaggio 4.3.1.1.5.3

Somma $1$ e $0$ .

$1 - t^{2} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Passaggio 4.3.1.1.6

Riordina $1$ e $- t^{2}$ .

$- t^{2} + 1 = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Passaggio 4.3.1.1.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1.7.1

Elimina il fattore comune di $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1.7.1.1

Elimina il fattore comune.

$- t^{2} + 1 = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Passaggio 4.3.1.1.7.1.2

Dividi $A (t^{2} - 3)$ per $1$ .

$- t^{2} + 1 = A (t^{2} - 3) + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Passaggio 4.3.1.1.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$- t^{2} + 1 = A t^{2} + A \cdot - 3 + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Passaggio 4.3.1.1.7.3

Sposta $- 3$ alla sinistra di $A$ .

$- t^{2} + 1 = A t^{2} - 3 \cdot A + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Passaggio 4.3.1.1.7.4

Elimina il fattore comune di $t^{2} - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$- t^{2} + 1 = A t^{2} - 3 A + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Passaggio 4.3.1.1.7.4.2

Dividi $(B t + C) (t)$ per $1$ .

$- t^{2} + 1 = A t^{2} - 3 A + (B t + C) (t)$

Passaggio 4.3.1.1.7.5

Applica la proprietà distributiva.

$- t^{2} + 1 = A t^{2} - 3 A + B t \cdot t + C t$

Passaggio 4.3.1.1.7.6

Moltiplica $t$ per $t$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1.7.6.1

Sposta $t$ .

$- t^{2} + 1 = A t^{2} - 3 A + B (t \cdot t) + C t$

Passaggio 4.3.1.1.7.6.2

Moltiplica $t$ per $t$ .

$- t^{2} + 1 = A t^{2} - 3 A + B t^{2} + C t$

Passaggio 4.3.1.1.8

Sposta $- 3 A$ .

$- t^{2} + 1 = A t^{2} + B t^{2} + C t - 3 A$

Passaggio 4.3.1.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $t^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$- 1 = A + B$

Passaggio 4.3.1.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $t$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = C$

Passaggio 4.3.1.2.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $t$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = - 3 A$

Passaggio 4.3.1.2.4

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$- 1 = A + B$

$0 = C$

$1 = - 3 A$

$- 1 = A + B$

$0 = C$

$1 = - 3 A$

Passaggio 4.3.1.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.3.1

Riscrivi l'equazione come $C = 0$ .

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$1 = - 3 A$

Passaggio 4.3.1.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ con $0$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.3.2.1

Riscrivi l'equazione come $- 3 A = 1$ .

$- 3 A = 1$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

Passaggio 4.3.1.3.2.2

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 A = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.3.2.2.1

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 A = 1$ .

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{1}{- 3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

Passaggio 4.3.1.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{1}{- 3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

Passaggio 4.3.1.3.2.2.2.1.2

Dividi $A$ per $1$ .

$A = \frac{1}{- 3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$A = \frac{1}{- 3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$A = \frac{1}{- 3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

Passaggio 4.3.1.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.3.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

Passaggio 4.3.1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $- \frac{1}{3}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.3.3.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $- 1 = A + B$ con $- \frac{1}{3}$ .

$- 1 = (- \frac{1}{3}) + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Passaggio 4.3.1.3.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.3.3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$- 1 = - \frac{1}{3} + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$- 1 = - \frac{1}{3} + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$- 1 = - \frac{1}{3} + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Passaggio 4.3.1.3.4

Risolvi per $B$ in $- 1 = - \frac{1}{3} + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.3.4.1

Riscrivi l'equazione come $- \frac{1}{3} + B = - 1$ .

$- \frac{1}{3} + B = - 1$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Passaggio 4.3.1.3.4.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.3.4.2.1

Somma $\frac{1}{3}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$B = - 1 + \frac{1}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Passaggio 4.3.1.3.4.2.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$B = - 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Passaggio 4.3.1.3.4.2.3

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$B = \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Passaggio 4.3.1.3.4.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$B = \frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Passaggio 4.3.1.3.4.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.3.4.2.5.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$B = \frac{- 3 + 1}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Passaggio 4.3.1.3.4.2.5.2

Somma $- 3$ e $1$ .

$B = \frac{- 2}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$B = \frac{- 2}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Passaggio 4.3.1.3.4.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Passaggio 4.3.1.3.5

Risolvi il sistema di equazioni.

$B = - \frac{2}{3} A = - \frac{1}{3} C = 0$

Passaggio 4.3.1.3.6

Elenca tutte le soluzioni.

$B = - \frac{2}{3}, A = - \frac{1}{3}, C = 0$

Passaggio 4.3.1.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{t} + \frac{B t + C}{t^{2} - 3}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ e $C$ .

$- \frac{\frac{1}{3}}{t} + \frac{- \frac{2}{3 t} + 0}{t^{2} - 3}$

Passaggio 4.3.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.5.1

Rimuovi le parentesi.

$\frac{- \frac{1}{3}}{t} + \frac{(- \frac{2}{3}) \cdot t + 0}{t^{2} - 3}$

Passaggio 4.3.1.5.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.5.2.1

$t$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{- \frac{1}{3}}{t} + \frac{- \frac{t \cdot 2}{3} + 0}{t^{2} - 3}$

Passaggio 4.3.1.5.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $t$ .

$\frac{- \frac{1}{3}}{t} + \frac{- \frac{2 \cdot t}{3} + 0}{t^{2} - 3}$

Passaggio 4.3.1.5.2.3

Somma $- \frac{2 t}{3}$ e $0$ .

$\frac{- \frac{1}{3}}{t} + \frac{- \frac{2 t}{3}}{t^{2} - 3}$

Passaggio 4.3.1.5.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{- \frac{1}{3}}{t} - \frac{2 t}{3} \cdot \frac{1}{t^{2} - 3}$

Passaggio 4.3.1.5.4

Moltiplica $\frac{1}{t^{2} - 3}$ per $\frac{2 t}{3}$ .

$\frac{- \frac{1}{3}}{t} - \frac{2 t}{(t^{2} - 3) \cdot 3}$

Passaggio 4.3.1.5.5

Sposta $3$ alla sinistra di $t^{2} - 3$ .

$\frac{- \frac{1}{3}}{t} - \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)}$

Passaggio 4.3.1.5.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{t} - \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)}$

Passaggio 4.3.1.5.7

Moltiplica $\frac{1}{t}$ per $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{t \cdot 3} - \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)}$

Passaggio 4.3.1.5.8

Sposta $3$ alla sinistra di $t$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = \int - \frac{1}{3 t} - \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)} d t$

Passaggio 4.3.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\ln (| x |) + C_{1} = \int - \frac{1}{3 t} d t + \int - \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)} d t$

Passaggio 4.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (| x |) + C_{1} = - \int \frac{1}{3 t} d t + \int - \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)} d t$

Passaggio 4.3.4

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\ln (| x |) + C_{1} = - (\frac{1}{3} \int \frac{1}{t} d t) + \int - \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)} d t$

Passaggio 4.3.5

L'integrale di $\frac{1}{t}$ rispetto a $t$ è $\ln (| t |)$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) + \int - \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)} d t$

Passaggio 4.3.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \int \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)} d t$

Passaggio 4.3.7

Poiché $\frac{2}{3}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{2}{3}$ fuori dall'integrale.

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - (\frac{2}{3} \int \frac{t}{t^{2} - 3} d t)$

Passaggio 4.3.8

Sia $u = t^{2} - 3$ . Allora $d u = 2 t d t$ , quindi $\frac{1}{2} d u = t d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.8.1

Sia $u = t^{2} - 3$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.8.1.1

Differenzia $t^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2} - 3]$

Passaggio 4.3.8.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $t^{2} - 3$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$

Passaggio 4.3.8.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 t + \frac{d}{d t} [- 3]$

Passaggio 4.3.8.1.4

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $t$ è $0$ .

$2 t + 0$

Passaggio 4.3.8.1.5

Somma $2 t$ e $0$ .

$2 t$

Passaggio 4.3.8.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2}{3} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 4.3.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.9.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2}{3} \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Passaggio 4.3.9.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2}{3} \int \frac{1}{2 u} d u$

Passaggio 4.3.10

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2}{3} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 4.3.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.11.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{2}{3}$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 4.3.11.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2}{6} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 4.3.11.3

Elimina il fattore comune di $2$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.11.3.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2 (1)}{6} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 4.3.11.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.11.3.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 4.3.11.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 4.3.11.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 4.3.12

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{3})$

Passaggio 4.3.13

Semplifica.

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} \ln (| t |) - \frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{4}$

Passaggio 4.3.14

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $t^{2} - 3$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} \ln (| t |) - \frac{1}{3} \ln (| t^{2} - 3 |) + C_{4}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| x |) = - \frac{1}{3} \ln (| t |) - \frac{1}{3} \ln (| t^{2} - 3 |) + C$

Passaggio 5

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

$\ln (| t |)$ e $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| x |) = - \frac{\ln (| t |)}{3} - \frac{1}{3} \ln (| t^{2} - 3 |) + C$

Passaggio 5.1.1.2

$\ln (| t^{2} - 3 |)$ e $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| x |) = - \frac{\ln (| t |)}{3} - \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3} + C$

Passaggio 5.2

Moltiplica per $3$ ciascun termine in $\ln (| x |) = - \frac{\ln (| t |)}{3} - \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3} + C$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Moltiplica ogni termine in $\ln (| x |) = - \frac{\ln (| t |)}{3} - \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3} + C$ per $3$ .

$\ln (| x |) \cdot 3 = - \frac{\ln (| t |)}{3} \cdot 3 - \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Sposta $3$ alla sinistra di $\ln (| x |)$ .

$3 \ln (| x |) = - \frac{\ln (| t |)}{3} \cdot 3 - \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\ln (| t |)}{3}$ nel numeratore.

$3 \ln (| x |) = \frac{- \ln (| t |)}{3} \cdot 3 - \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

Passaggio 5.2.3.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$3 \ln (| x |) = \frac{- \ln (| t |)}{3} \cdot 3 - \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

Passaggio 5.2.3.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$3 \ln (| x |) = - \ln (| t |) - \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

Passaggio 5.2.3.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3}$ nel numeratore.

$3 \ln (| x |) = - \ln (| t |) + \frac{- \ln (| t^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

Passaggio 5.2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$3 \ln (| x |) = - \ln (| t |) + \frac{- \ln (| t^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

Passaggio 5.2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$3 \ln (| x |) = - \ln (| t |) - \ln (| t^{2} - 3 |) + C \cdot 3$

Passaggio 5.2.3.1.3

Sposta $3$ alla sinistra di $C$ .

$3 \ln (| x |) = - \ln (| t |) - \ln (| t^{2} - 3 |) + 3 C$

Passaggio 5.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Semplifica $3 \ln (| x |)$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$\ln ({| x |}^{3}) = - \ln (| t |) - \ln (| t^{2} - 3 |) + 3 C$

Passaggio 5.4

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln ({| x |}^{3}) + \ln (| t |) + \ln (| t^{2} - 3 |) = 3 C$

Passaggio 5.5

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({| x |}^{3} | t |) + \ln (| t^{2} - 3 |) = 3 C$

Passaggio 5.6

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({| x |}^{3} | t | | t^{2} - 3 |) = 3 C$

Passaggio 5.7

Per moltiplicare dei valori assoluti, moltiplica i termini all'interno di ciascun valore assoluto.

$\ln ({| x |}^{3} | (t^{2} - 3) t |) = 3 C$

Passaggio 5.8

Applica la proprietà distributiva.

$\ln ({| x |}^{3} | t^{2} t - 3 t |) = 3 C$

Passaggio 5.9

Moltiplica $t^{2}$ per $t$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.1

Moltiplica $t^{2}$ per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.1.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$\ln ({| x |}^{3} | t^{2} t - 3 t |) = 3 C$

Passaggio 5.9.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\ln ({| x |}^{3} | t^{2 + 1} - 3 t |) = 3 C$

Passaggio 5.9.2

Somma $2$ e $1$ .

$\ln ({| x |}^{3} | t^{3} - 3 t |) = 3 C$

Passaggio 5.10

Per risolvere per $x$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln ({| x |}^{3} | t^{3} - 3 t |)} = e^{3 C}$

Passaggio 5.11

Riscrivi $\ln ({| x |}^{3} | t^{3} - 3 t |) = 3 C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{3 C} = {| x |}^{3} | t^{3} - 3 t |$

Passaggio 5.12

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.12.1

Riscrivi l'equazione come ${| x |}^{3} | t^{3} - 3 t | = e^{3 C}$ .

${| x |}^{3} | t^{3} - 3 t | = e^{3 C}$

Passaggio 5.12.2

Dividi per $| t^{3} - 3 t |$ ciascun termine in ${| x |}^{3} | t^{3} - 3 t | = e^{3 C}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.12.2.1

Dividi per $| t^{3} - 3 t |$ ciascun termine in ${| x |}^{3} | t^{3} - 3 t | = e^{3 C}$ .

$\frac{{| x |}^{3} | t^{3} - 3 t |}{| t^{3} - 3 t |} = \frac{e^{3 C}}{| t^{3} - 3 t |}$

Passaggio 5.12.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.12.2.2.1

Elimina il fattore comune di $| t^{3} - 3 t |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.12.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{{| x |}^{3} | t^{3} - 3 t |}{| t^{3} - 3 t |} = \frac{e^{3 C}}{| t^{3} - 3 t |}$

Passaggio 5.12.2.2.1.2

Dividi ${| x |}^{3}$ per $1$ .

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t^{3} - 3 t |}$

Passaggio 5.12.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.12.2.3.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.12.2.3.1.1

Scomponi $t$ da $t^{3} - 3 t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.12.2.3.1.1.1

Scomponi $t$ da $t^{3}$ .

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t \cdot t^{2} - 3 t |}$

Passaggio 5.12.2.3.1.1.2

Scomponi $t$ da $- 3 t$ .

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t \cdot t^{2} + t \cdot - 3 |}$

Passaggio 5.12.2.3.1.1.3

Scomponi $t$ da $t \cdot t^{2} + t \cdot - 3$ .

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Passaggio 5.12.2.3.1.2

Applica la proprietà distributiva.

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t \cdot t^{2} + t \cdot - 3 |}$

Passaggio 5.12.2.3.1.3

Moltiplica $t$ per $t^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.12.2.3.1.3.1

Moltiplica $t$ per $t^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.12.2.3.1.3.1.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t^{1} t^{2} + t \cdot - 3 |}$

Passaggio 5.12.2.3.1.3.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t^{1 + 2} + t \cdot - 3 |}$

Passaggio 5.12.2.3.1.3.2

Somma $1$ e $2$ .

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t^{3} + t \cdot - 3 |}$

Passaggio 5.12.2.3.1.4

Sposta $- 3$ alla sinistra di $t$ .

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t^{3} - 3 \cdot t |}$

Passaggio 5.12.2.3.1.5

Scomponi $t$ da $t^{3} - 3 t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.12.2.3.1.5.1

Scomponi $t$ da $t^{3}$ .

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t \cdot t^{2} - 3 t |}$

Passaggio 5.12.2.3.1.5.2

Scomponi $t$ da $- 3 t$ .

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t \cdot t^{2} + t \cdot - 3 |}$

Passaggio 5.12.2.3.1.5.3

Scomponi $t$ da $t \cdot t^{2} + t \cdot - 3$ .

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Passaggio 5.12.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$| x | = \sqrt[3]{\frac{e^{3 C}}{| t (t^{2} - 3) |}}$

Passaggio 5.12.4

Semplifica $\sqrt[3]{\frac{e^{3 C}}{| t (t^{2} - 3) |}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.12.4.1

Riscrivi $\sqrt[3]{\frac{e^{3 C}}{| t (t^{2} - 3) |}}$ come $\frac{\sqrt[3]{e^{3 C}}}{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}$ .

$| x | = \frac{\sqrt[3]{e^{3 C}}}{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}$

Passaggio 5.12.4.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.12.4.2.1

Riscrivi $e^{3 C}$ come ${(e^{C})}^{3}$ .

$| x | = \frac{\sqrt[3]{{(e^{C})}^{3}}}{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}$

Passaggio 5.12.4.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$| x | = \frac{e^{C}}{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}$

Passaggio 5.12.4.3

Moltiplica $\frac{e^{C}}{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}$ .

$| x | = \frac{e^{C}}{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}$

Passaggio 5.12.4.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.12.4.4.1

Moltiplica $\frac{e^{C}}{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}$ .

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}$

Passaggio 5.12.4.4.2

Eleva $\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}$ alla potenza di $1$ .

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{1} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}$

Passaggio 5.12.4.4.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{1 + 2}}$

Passaggio 5.12.4.4.4

Somma $1$ e $2$ .

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{3}}$

Passaggio 5.12.4.4.5

Riscrivi ${\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{3}$ come $| t (t^{2} - 3) |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.12.4.4.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}$ come ${| t (t^{2} - 3) |}^{\frac{1}{3}}$ .

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{({| t (t^{2} - 3) |}^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Passaggio 5.12.4.4.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{| t (t^{2} - 3) |}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Passaggio 5.12.4.4.5.3

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{| t (t^{2} - 3) |}^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 5.12.4.4.5.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.12.4.4.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{| t (t^{2} - 3) |}^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 5.12.4.4.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{| t (t^{2} - 3) |}^{1}}$

Passaggio 5.12.4.4.5.5

Semplifica.

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Passaggio 5.12.4.5

Riscrivi ${\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}$ come $\sqrt[3]{{| t (t^{2} - 3) |}^{2}}$ .

$| x | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{{| t (t^{2} - 3) |}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Passaggio 5.12.5

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{{| t (t^{2} - 3) |}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Passaggio 5.12.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.12.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{{| t \cdot t^{2} + t \cdot - 3 |}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Passaggio 5.12.6.2

Moltiplica $t$ per $t^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.12.6.2.1

Moltiplica $t$ per $t^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.12.6.2.1.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{{| t^{1} t^{2} + t \cdot - 3 |}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Passaggio 5.12.6.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{{| t^{1 + 2} + t \cdot - 3 |}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Passaggio 5.12.6.2.2

Somma $1$ e $2$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{{| t^{3} + t \cdot - 3 |}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Passaggio 5.12.6.3

Sposta $- 3$ alla sinistra di $t$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{{| t^{3} - 3 \cdot t |}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Passaggio 5.12.6.4

Rimuovi il valore assoluto in ${| t^{3} - 3 t |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{{(t^{3} - 3 t)}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Passaggio 5.12.6.5

Riscrivi ${(t^{3} - 3 t)}^{2}$ come $(t^{3} - 3 t) (t^{3} - 3 t)$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{(t^{3} - 3 t) (t^{3} - 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Passaggio 5.12.6.6

Espandi $(t^{3} - 3 t) (t^{3} - 3 t)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.12.6.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{3} (t^{3} - 3 t) - 3 t (t^{3} - 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Passaggio 5.12.6.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{3} t^{3} + t^{3} (- 3 t) - 3 t (t^{3} - 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Passaggio 5.12.6.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{3} t^{3} + t^{3} (- 3 t) - 3 t \cdot t^{3} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Passaggio 5.12.6.7

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.12.6.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.12.6.7.1.1

Moltiplica $t^{3}$ per $t^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.12.6.7.1.1.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{3 + 3} + t^{3} (- 3 t) - 3 t \cdot t^{3} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Passaggio 5.12.6.7.1.1.2

Somma $3$ e $3$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} + t^{3} (- 3 t) - 3 t \cdot t^{3} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Passaggio 5.12.6.7.1.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{3} t - 3 t \cdot t^{3} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Passaggio 5.12.6.7.1.3

Moltiplica $t^{3}$ per $t$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.12.6.7.1.3.1

Sposta $t$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 (t \cdot t^{3}) - 3 t \cdot t^{3} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Passaggio 5.12.6.7.1.3.2

Moltiplica $t$ per $t^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.12.6.7.1.3.2.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 (t^{1} t^{3}) - 3 t \cdot t^{3} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Passaggio 5.12.6.7.1.3.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{1 + 3} - 3 t \cdot t^{3} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Passaggio 5.12.6.7.1.3.3

Somma $1$ e $3$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 t \cdot t^{3} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Passaggio 5.12.6.7.1.4

Moltiplica $t$ per $t^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.12.6.7.1.4.1

Sposta $t^{3}$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 (t^{3} t) - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Passaggio 5.12.6.7.1.4.2

Moltiplica $t^{3}$ per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.12.6.7.1.4.2.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 (t^{3} t^{1}) - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Passaggio 5.12.6.7.1.4.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 t^{3 + 1} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Passaggio 5.12.6.7.1.4.3

Somma $3$ e $1$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 t^{4} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Passaggio 5.12.6.7.1.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 t^{4} - 3 \cdot - 3 t \cdot t}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Passaggio 5.12.6.7.1.6

Moltiplica $t$ per $t$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.12.6.7.1.6.1

Sposta $t$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 t^{4} - 3 \cdot - 3 (t \cdot t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Passaggio 5.12.6.7.1.6.2

Moltiplica $t$ per $t$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 t^{4} - 3 \cdot - 3 t^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Passaggio 5.12.6.7.1.7

Moltiplica $- 3$ per $- 3$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 t^{4} + 9 t^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Passaggio 5.12.6.7.2

Sottrai $3 t^{4}$ da $- 3 t^{4}$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 6 t^{4} + 9 t^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Passaggio 5.12.6.8

Scomponi $t^{2}$ da $t^{6} - 6 t^{4} + 9 t^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.12.6.8.1

Scomponi $t^{2}$ da $t^{6}$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} t^{4} - 6 t^{4} + 9 t^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Passaggio 5.12.6.8.2

Scomponi $t^{2}$ da $- 6 t^{4}$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} t^{4} + t^{2} (- 6 t^{2}) + 9 t^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Passaggio 5.12.6.8.3

Scomponi $t^{2}$ da $9 t^{2}$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} t^{4} + t^{2} (- 6 t^{2}) + t^{2} \cdot 9}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Passaggio 5.12.6.8.4

Scomponi $t^{2}$ da $t^{2} t^{4} + t^{2} (- 6 t^{2})$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} (t^{4} - 6 t^{2}) + t^{2} \cdot 9}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Passaggio 5.12.6.8.5

Scomponi $t^{2}$ da $t^{2} (t^{4} - 6 t^{2}) + t^{2} \cdot 9$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} (t^{4} - 6 t^{2} + 9)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Passaggio 5.12.6.9

Riscrivi $t^{4}$ come ${(t^{2})}^{2}$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} ({(t^{2})}^{2} - 6 t^{2} + 9)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Passaggio 5.12.6.10

Sia $u = t^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $t^{2}$ con $u$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} (u^{2} - 6 u + 9)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Passaggio 5.12.6.11

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 5.12.6.11.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} (u^{2} - 6 u + 3^{2})}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Passaggio 5.12.6.11.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$6 u = 2 \cdot u \cdot 3$

Passaggio 5.12.6.11.3

Riscrivi il polinomio.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 3 + 3^{2})}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Passaggio 5.12.6.11.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = u$ e $b = 3$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} {(u - 3)}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Passaggio 5.12.6.12

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $t^{2}$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} {(t^{2} - 3)}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Passaggio 6

Semplifica la costante dell'integrazione.

$x = \pm \frac{C \sqrt[3]{t^{2} {(t^{2} - 3)}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$