Calcolo Esempi

$6 y \frac{d y}{d x} = 5 x^{2}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$6 y d y = 5 x^{2} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int 6 y d y = \int 5 x^{2} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $y$ , sposta $6$ fuori dall'integrale.

$6 \int y d y = \int 5 x^{2} d x$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int 5 x^{2} d x$

Passaggio 2.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Riscrivi $6 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ come $6 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$6 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int 5 x^{2} d x$

Passaggio 2.2.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.1

$6$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{6}{2} y^{2} + C_{1} = \int 5 x^{2} d x$

Passaggio 2.2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2} y^{2} + C_{1} = \int 5 x^{2} d x$

Passaggio 2.2.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} y^{2} + C_{1} = \int 5 x^{2} d x$

Passaggio 2.2.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} y^{2} + C_{1} = \int 5 x^{2} d x$

Passaggio 2.2.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3}{1} y^{2} + C_{1} = \int 5 x^{2} d x$

Passaggio 2.2.3.2.2.2.4

Dividi $3$ per $1$ .

$3 y^{2} + C_{1} = \int 5 x^{2} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$3 y^{2} + C_{1} = 5 \int x^{2} d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 y^{2} + C_{1} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Passaggio 2.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Riscrivi $5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ come $5 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ .

$3 y^{2} + C_{1} = 5 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2

$5$ e $\frac{1}{3}$ .

$3 y^{2} + C_{1} = \frac{5}{3} x^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$3 y^{2} = \frac{5}{3} x^{3} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 y^{2} = \frac{5}{3} x^{3} + K$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 y^{2} = \frac{5}{3} x^{3} + K$ .

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{\frac{5}{3} x^{3}}{3} + \frac{K}{3}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{\frac{5}{3} x^{3}}{3} + \frac{K}{3}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Dividi $y^{2}$ per $1$ .

$y^{2} = \frac{\frac{5}{3} x^{3}}{3} + \frac{K}{3}$

Passaggio 3.1.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.3.1.1

$\frac{5}{3}$ e $x^{3}$ .

$y^{2} = \frac{\frac{5 x^{3}}{3}}{3} + \frac{K}{3}$

Passaggio 3.1.3.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y^{2} = \frac{5 x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{K}{3}$

Passaggio 3.1.3.1.3

Combina.

$y^{2} = \frac{5 x^{3} \cdot 1}{3 \cdot 3} + \frac{K}{3}$

Passaggio 3.1.3.1.4

Moltiplica $5$ per $1$ .

$y^{2} = \frac{5 x^{3}}{3 \cdot 3} + \frac{K}{3}$

Passaggio 3.1.3.1.5

Moltiplica $3$ per $3$ .

$y^{2} = \frac{5 x^{3}}{9} + \frac{K}{3}$

Passaggio 3.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 x^{3}}{9} + \frac{K}{3}}$

Passaggio 3.3

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{5 x^{3}}{9} + \frac{K}{3}}$ .

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Passaggio 3.3.1

Per scrivere $\frac{K}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 x^{3}}{9} + \frac{K}{3} \cdot \frac{3}{3}}$

Passaggio 3.3.2

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $9$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 3.3.2.1

Moltiplica $\frac{K}{3}$ per $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 x^{3}}{9} + \frac{K \cdot 3}{3 \cdot 3}}$

Passaggio 3.3.2.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 x^{3}}{9} + \frac{K \cdot 3}{9}}$

Passaggio 3.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 x^{3} + K \cdot 3}{9}}$

Passaggio 3.3.4

Sposta $3$ alla sinistra di $K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 x^{3} + 3 K}{9}}$

Passaggio 3.3.5

Riscrivi $\frac{5 x^{3} + 3 K}{9}$ come ${(\frac{1}{3})}^{2} (5 x^{3} + 3 K)$ .

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Passaggio 3.3.5.1

Scomponi la potenza perfetta $1^{2}$ su $5 x^{3} + 3 K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (5 x^{3} + 3 K)}{9}}$

Passaggio 3.3.5.2

Scomponi la potenza perfetta $3^{2}$ su $9$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (5 x^{3} + 3 K)}{3^{2} \cdot 1}}$

Passaggio 3.3.5.3

Riordina la frazione $\frac{1^{2} (5 x^{3} + 3 K)}{3^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} (5 x^{3} + 3 K)}$

Passaggio 3.3.6

Estrai i termini dal radicale.

$y = \pm \frac{1}{3} \sqrt{5 x^{3} + 3 K}$

Passaggio 3.3.7

$\frac{1}{3}$ e $\sqrt{5 x^{3} + 3 K}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K}}{3}$

Passaggio 3.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 3.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K}}{3}$

Passaggio 3.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K}}{3}$

Passaggio 3.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K}}{3}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{\sqrt{5 x^{3} + K}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{5 x^{3} + K}}{3}$