Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d t} + 4 y = 11$ , $y (0) = 1$

Passaggio 1

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (t) d t}$ , dove $P (t) = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int 4 d t}$

Passaggio 1.2

Applica la regola costante.

$e^{4 t + C}$

Passaggio 1.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{4 t}$

Passaggio 2

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{4 t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine per $e^{4 t}$ .

$e^{4 t} \frac{d y}{d t} + e^{4 t} (4 y) = e^{4 t} \cdot 11$

Passaggio 2.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{4 t} \frac{d y}{d t} + 4 e^{4 t} y = e^{4 t} \cdot 11$

Passaggio 2.3

Sposta $11$ alla sinistra di $e^{4 t}$ .

$e^{4 t} \frac{d y}{d t} + 4 e^{4 t} y = 11 \cdot e^{4 t}$

Passaggio 2.4

Riordina i fattori in $e^{4 t} \frac{d y}{d t} + 4 e^{4 t} y = 11 e^{4 t}$ .

$e^{4 t} \frac{d y}{d t} + 4 y e^{4 t} = 11 e^{4 t}$

Passaggio 3

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d t} [e^{4 t} y] = 11 e^{4 t}$

Passaggio 4

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d t} [e^{4 t} y] d t = \int 11 e^{4 t} d t$

Passaggio 5

Integra il lato sinistro.

$e^{4 t} y = \int 11 e^{4 t} d t$

Passaggio 6

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poiché $11$ è costante rispetto a $t$ , sposta $11$ fuori dall'integrale.

$e^{4 t} y = 11 \int e^{4 t} d t$

Passaggio 6.2

Sia $u = 4 t$ . Allora $d u = 4 d t$ , quindi $\frac{1}{4} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sia $u = 4 t$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Differenzia $4 t$ .

$\frac{d}{d t} [4 t]$

Passaggio 6.2.1.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $4 t$ rispetto a $t$ è $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$4 \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 6.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Passaggio 6.2.1.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4$

Passaggio 6.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{4 t} y = 11 \int e^{u} \frac{1}{4} d u$

Passaggio 6.3

$e^{u}$ e $\frac{1}{4}$ .

$e^{4 t} y = 11 \int \frac{e^{u}}{4} d u$

Passaggio 6.4

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$e^{4 t} y = 11 (\frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Passaggio 6.5

$\frac{1}{4}$ e $11$ .

$e^{4 t} y = \frac{11}{4} \int e^{u} d u$

Passaggio 6.6

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$e^{4 t} y = \frac{11}{4} (e^{u} + C)$

Passaggio 6.7

Semplifica.

$e^{4 t} y = \frac{11}{4} e^{u} + C$

Passaggio 6.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 t$ .

$e^{4 t} y = \frac{11}{4} e^{4 t} + C$

Passaggio 7

Dividi per $e^{4 t}$ ciascun termine in $e^{4 t} y = \frac{11}{4} e^{4 t} + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Dividi per $e^{4 t}$ ciascun termine in $e^{4 t} y = \frac{11}{4} e^{4 t} + C$ .

$\frac{e^{4 t} y}{e^{4 t}} = \frac{\frac{11}{4} e^{4 t}}{e^{4 t}} + \frac{C}{e^{4 t}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{4 t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{4 t} y}{e^{4 t}} = \frac{\frac{11}{4} e^{4 t}}{e^{4 t}} + \frac{C}{e^{4 t}}$

Passaggio 7.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\frac{11}{4} e^{4 t}}{e^{4 t}} + \frac{C}{e^{4 t}}$

Passaggio 7.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Elimina il fattore comune di $e^{4 t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{\frac{11}{4} e^{4 t}}{e^{4 t}} + \frac{C}{e^{4 t}}$

Passaggio 7.3.1.2

Dividi $\frac{11}{4}$ per $1$ .

$y = \frac{11}{4} + \frac{C}{e^{4 t}}$

Passaggio 8

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $C$ sostituendo $t$ con $0$ e $y$ con $1$ in $y = \frac{11}{4} + \frac{C}{e^{4 t}}$ .

$1 = \frac{11}{4} + \frac{C}{e^{4 \cdot 0}}$

Passaggio 9

Risolvi per $C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{11}{4} + \frac{C}{e^{4 \cdot 0}} = 1$ .

$\frac{11}{4} + \frac{C}{e^{4 \cdot 0}} = 1$

Passaggio 9.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Moltiplica $4$ per $0$ .

$\frac{11}{4} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Passaggio 9.2.1.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{11}{4} + \frac{C}{1} = 1$

Passaggio 9.2.2

Dividi $C$ per $1$ .

$\frac{11}{4} + C = 1$

Passaggio 9.3

Sposta tutti i termini non contenenti $C$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Sottrai $\frac{11}{4}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$C = 1 - \frac{11}{4}$

Passaggio 9.3.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$C = \frac{4}{4} - \frac{11}{4}$

Passaggio 9.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$C = \frac{4 - 11}{4}$

Passaggio 9.3.4

Sottrai $11$ da $4$ .

$C = \frac{- 7}{4}$

Passaggio 9.3.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$C = - \frac{7}{4}$

Passaggio 10

Sostituisci $- \frac{7}{4}$ a $C$ in $y = \frac{11}{4} + \frac{C}{e^{4 t}}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sostituisci $- \frac{7}{4}$ a $C$ .

$y = \frac{11}{4} + \frac{- \frac{7}{4}}{e^{4 t}}$

Passaggio 10.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y = \frac{11}{4} - \frac{7}{4} \cdot \frac{1}{e^{4 t}}$

Passaggio 10.2.2

Moltiplica $\frac{1}{e^{4 t}}$ per $\frac{7}{4}$ .

$y = \frac{11}{4} - \frac{7}{e^{4 t} \cdot 4}$

Passaggio 10.2.3

Sposta $4$ alla sinistra di $e^{4 t}$ .

$y = \frac{11}{4} - \frac{7}{4 e^{4 t}}$