Calcolo Esempi

$(y^{2} - 2 x y + 6) d x - (x^{2} - 2 x y + 2) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = y^{2} - 2 x y + 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 x y + 6]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{2} - 2 x y + 6$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [6]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [6]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [6]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [- 2 x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 2 x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 2 x y$ rispetto a $y$ è $- 2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [6]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [6]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x + \frac{d}{d y} [6]$

Passaggio 1.4

Poiché $6$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $6$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x + 0$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Somma $2 y - 2 x$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x$

Passaggio 1.5.2

Riordina i termini.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x + 2 y$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = - (x^{2} - 2 x y + 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 2 x y + 2)]$

Passaggio 2.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- (x^{2} - 2 x y + 2)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x y + 2]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x y + 2]$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 2 x y + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [2])$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [2])$

Passaggio 2.5

Poiché $- 2 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x y$ rispetto a $x$ è $- 2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x - 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x - 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

Passaggio 2.7

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x - 2 y + \frac{d}{d x} [2])$

Passaggio 2.8

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x - 2 y + 0)$

Passaggio 2.9

Somma $2 x - 2 y$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x - 2 y)$

Passaggio 2.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x) - (- 2 y)$

Passaggio 2.10.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.2.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x - (- 2 y)$

Passaggio 2.10.2.2

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x + 2 y$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $- 2 x + 2 y$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- 2 x + 2 y$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$- 2 x + 2 y = - 2 x + 2 y$

Passaggio 3.2

Dato che è stato dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$- 2 x + 2 y = - 2 x + 2 y$ è un'identità.

Passaggio 4

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - (x^{2} - 2 x y + 2) d y$

Passaggio 5

Integra $N (x, y) = - (x^{2} - 2 x y + 2)$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = - \int x^{2} - 2 x y + 2 d y$

Passaggio 5.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$f (x, y) = - (\int x^{2} d y + \int - 2 x y d y + \int 2 d y)$

Passaggio 5.3

Applica la regola costante.

$f (x, y) = - (x^{2} y + C + \int - 2 x y d y + \int 2 d y)$

Passaggio 5.4

Poiché $- 2 x$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 2 x$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = - (x^{2} y + C - 2 x \int y d y + \int 2 d y)$

Passaggio 5.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - (x^{2} y + C - 2 x (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int 2 d y)$

Passaggio 5.6

Applica la regola costante.

$f (x, y) = - (x^{2} y + C - 2 x (\frac{1}{2} y^{2} + C) + 2 y + C)$

Passaggio 5.7

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = - (x^{2} y + C - 2 x (\frac{y^{2}}{2} + C) + 2 y + C)$

Passaggio 5.8

Semplifica.

$f (x, y) = - (x^{2} y - x y^{2} + 2 y) + C$

Passaggio 6

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = - (x^{2} y - x y^{2} + 2 y) + g (x)$

Passaggio 7

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y^{2} - 2 x y + 6$

Passaggio 8

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x^{2} y - x y^{2} + 2 y) + g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6$

Passaggio 8.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- (x^{2} y - x y^{2} + 2 y) + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- (x^{2} y - x y^{2} + 2 y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- (x^{2} y - x y^{2} + 2 y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6$

Passaggio 8.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- (x^{2} y - x y^{2} + 2 y)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- (x^{2} y - x y^{2} + 2 y)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2} y - x y^{2} + 2 y]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2} y - x y^{2} + 2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6$

Passaggio 8.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} y - x y^{2} + 2 y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$- (\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6$

Passaggio 8.3.3

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $x^{2} y$ rispetto a $x$ è $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- (y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6$

Passaggio 8.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- (y (2 x) + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6$

Passaggio 8.3.5

Poiché $- y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x y^{2}$ rispetto a $x$ è $- y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (y (2 x) - y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6$

Passaggio 8.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- (y (2 x) - y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6$

Passaggio 8.3.7

Poiché $2 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- (y (2 x) - y^{2} \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6$

Passaggio 8.3.8

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$- (2 \cdot y x - y^{2} \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6$

Passaggio 8.3.9

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- (2 y x - y^{2} + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6$

Passaggio 8.3.10

Somma $2 y x - y^{2}$ e $0$ .

$- (2 y x - y^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6$

Passaggio 8.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$- (2 y x - y^{2}) + \frac{d g}{d x} = y^{2} - 2 x y + 6$

Passaggio 8.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$- (2 y x) - - y^{2} + \frac{d g}{d x} = y^{2} - 2 x y + 6$

Passaggio 8.5.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.2.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 (y x) - - y^{2} + \frac{d g}{d x} = y^{2} - 2 x y + 6$

Passaggio 8.5.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- 2 y x + 1 y^{2} + \frac{d g}{d x} = y^{2} - 2 x y + 6$

Passaggio 8.5.2.3

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$- 2 y x + y^{2} + \frac{d g}{d x} = y^{2} - 2 x y + 6$

Passaggio 8.5.3

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} - 2 x y = y^{2} - 2 x y + 6$

Passaggio 9

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Sottrai $y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} - 2 x y = y^{2} - 2 x y + 6 - y^{2}$

Passaggio 9.1.2

Somma $2 x y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} = y^{2} - 2 x y + 6 - y^{2} + 2 x y$

Passaggio 9.1.3

Combina i termini opposti in $y^{2} - 2 x y + 6 - y^{2} + 2 x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.3.1

Sottrai $y^{2}$ da $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 x y + 6 + 0 + 2 x y$

Passaggio 9.1.3.2

Somma $- 2 x y + 6$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 x y + 6 + 2 x y$

Passaggio 9.1.3.3

Somma $- 2 x y$ e $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = 0 + 6$

Passaggio 9.1.3.4

Somma $0$ e $6$ .

$\frac{d g}{d x} = 6$

Passaggio 10

Trova l'antiderivata di $6$ per trovare $g (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = 6$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 6 d x$

Passaggio 10.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 6 d x$

Passaggio 10.3

Applica la regola costante.

$g (x) = 6 x + C$

Passaggio 11

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = - (x^{2} y - x y^{2} + 2 y) + g (x)$ .

$f (x, y) = - (x^{2} y - x y^{2} + 2 y) + 6 x + C$

Passaggio 12

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x, y) = - (x^{2} y) - (- x y^{2}) - (2 y) + 6 x + C$

Passaggio 12.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Moltiplica $- (- x y^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (x, y) = - x^{2} y + 1 (x y^{2}) - (2 y) + 6 x + C$

Passaggio 12.2.1.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f (x, y) = - x^{2} y + x y^{2} - (2 y) + 6 x + C$

Passaggio 12.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f (x, y) = - x^{2} y + x y^{2} - 2 y + 6 x + C$