Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = e^{- 2 x}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = e^{- 2 x} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int e^{- 2 x} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int e^{- 2 x} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Sia $u = - 2 x$ . Allora $d u = - 2 d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Sia $u = - 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.1.1.1

Differenzia $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 2.3.1.1.2

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Passaggio 2.3.1.1.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 2.3.2

Semplifica.

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Passaggio 2.3.2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y + C_{1} = \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Passaggio 2.3.2.2

$e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \int - \frac{e^{u}}{2} d u$

Passaggio 2.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = - \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Passaggio 2.3.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Passaggio 2.3.5

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2})$

Passaggio 2.3.6

Semplifica.

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} e^{u} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 2 x$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + K$