Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} y = 2$

Passaggio 1

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = - \frac{1}{x}$ .

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Passaggio 1.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 1.2

Integra $- \frac{1}{x}$ .

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Passaggio 1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 1.2.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Passaggio 1.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- \ln (x)}$

Passaggio 1.4

Usa la regola della potenza logaritmica.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Passaggio 1.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$x^{- 1}$

Passaggio 1.6

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Passaggio 2

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $\frac{1}{x}$ .

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Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot 2$

Passaggio 2.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.1

$\frac{1}{x}$ e $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot 2$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot 2$

Passaggio 2.2.3

$\frac{1}{x}$ e $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} \cdot 2$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

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Passaggio 2.2.4.1

Moltiplica $\frac{y}{x}$ per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} \cdot 2$

Passaggio 2.2.4.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} \cdot 2$

Passaggio 2.2.4.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} \cdot 2$

Passaggio 2.2.4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} \cdot 2$

Passaggio 2.2.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} \cdot 2$

Passaggio 2.3

$\frac{1}{x}$ e $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{2}{x}$

Passaggio 3

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = \frac{2}{x}$

Passaggio 4

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int \frac{2}{x} d x$

Passaggio 5

Integra il lato sinistro.

$\frac{1}{x} y = \int \frac{2}{x} d x$

Passaggio 6

Integra il lato destro.

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Passaggio 6.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{x} y = 2 \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 6.3

Semplifica.

$\frac{1}{x} y = 2 \ln (| x |) + C$

Passaggio 7

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 7.1

$\frac{1}{x}$ e $y$ .

$\frac{y}{x} = 2 \ln (| x |) + C$

Passaggio 7.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.2.1

Semplifica $2 \ln (| x |)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\frac{y}{x} = \ln ({| x |}^{2}) + C$

Passaggio 7.2.2

Rimuovi il valore assoluto in ${| x |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$\frac{y}{x} = \ln (x^{2}) + C$

Passaggio 7.3

Moltiplica ogni lato per $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\ln (x^{2}) + C) x$

Passaggio 7.4

Semplifica.

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Passaggio 7.4.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 7.4.1.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 7.4.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{x} x = (\ln (x^{2}) + C) x$

Passaggio 7.4.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = (\ln (x^{2}) + C) x$

Passaggio 7.4.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 7.4.2.1

Semplifica $(\ln (x^{2}) + C) x$ .

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Passaggio 7.4.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \ln (x^{2}) x + C x$

Passaggio 7.4.2.1.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 7.4.2.1.2.1

Riordina i fattori in $\ln (x^{2}) x + C x$ .

$y = x \ln (x^{2}) + C x$

Passaggio 7.4.2.1.2.2

Riordina $x \ln (x^{2})$ e $C x$ .

$y = C x + x \ln (x^{2})$