Calcolo Esempi

$\frac{d x}{d t} = 37.5 - 3.5 x$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{37.5 - 3.5 x}$ .

$\frac{1}{37.5 - 3.5 x} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{37.5 - 3.5 x} (37.5 - 3.5 x)$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $37.5 - 3.5 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{37.5 - 3.5 x} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{37.5 - 3.5 x} (37.5 - 3.5 x)$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{37.5 - 3.5 x} \frac{d x}{d t} = 1$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{37.5 - 3.5 x} d x = 1 d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{37.5 - 3.5 x} d x = \int d t$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sia $u = 37.5 - 3.5 x$ . Allora $d u = - 3.5 d x$ , quindi $\frac{1}{- 3.5} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sia $u = 37.5 - 3.5 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Differenzia $37.5 - 3.5 x$ .

$\frac{d}{d x} [37.5 - 3.5 x]$

Passaggio 2.2.1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $37.5 - 3.5 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [37.5] + \frac{d}{d x} [- 3.5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [37.5] + \frac{d}{d x} [- 3.5 x]$

Passaggio 2.2.1.1.2.2

Poiché $37.5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $37.5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3.5 x]$

Passaggio 2.2.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3.5 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.3.1

Poiché $- 3.5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3.5 x$ rispetto a $x$ è $- 3.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 3.5 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - 3.5 \cdot 1$

Passaggio 2.2.1.1.3.3

Moltiplica $- 3.5$ per $1$ .

$0 - 3.5$

Passaggio 2.2.1.1.4

Sottrai $3.5$ da $0$ .

$- 3.5$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 3.5} d u = \int d t$

Passaggio 2.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{3.5}) d u = \int d t$

Passaggio 2.2.2.2

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{3.5}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 3.5} d u = \int d t$

Passaggio 2.2.2.3

Sposta $3.5$ alla sinistra di $u$ .

$\int - \frac{1}{3.5 u} d u = \int d t$

Passaggio 2.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{3.5 u} d u = \int d t$

Passaggio 2.2.4

Poiché $\frac{1}{3.5}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3.5}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{3.5} \int \frac{1}{u} d u) = \int d t$

Passaggio 2.2.5

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{3.5} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d t$

Passaggio 2.2.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Riscrivi $- \frac{1}{3.5} (\ln (| u |) + C_{1})$ come $- 1 \cdot 0.\overline{285714} \ln (| u |) + C_{1}$ .

$- 1 \cdot 0.\overline{285714} \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

Passaggio 2.2.6.2

Moltiplica $- 1$ per $0.\overline{285714}$ .

$- 0.\overline{285714} \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

Passaggio 2.2.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $37.5 - 3.5 x$ .

$- 0.\overline{285714} \ln (| 37.5 - 3.5 x |) + C_{1} = \int d t$

Passaggio 2.3

Applica la regola costante.

$- 0.\overline{285714} \ln (| 37.5 - 3.5 x |) + C_{1} = t + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- 0.\overline{285714} \ln (| 37.5 - 3.5 x |) = t + C$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Dividi per $- 0.\overline{285714}$ ciascun termine in $- 0.\overline{285714} \ln (| 37.5 - 3.5 x |) = t + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Dividi per $- 0.\overline{285714}$ ciascun termine in $- 0.\overline{285714} \ln (| 37.5 - 3.5 x |) = t + C$ .

$\frac{- 0.\overline{285714} \ln (| 37.5 - 3.5 x |)}{- 0.\overline{285714}} = \frac{t}{- 0.\overline{285714}} + \frac{C}{- 0.\overline{285714}}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $- 0.\overline{285714}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 0.\overline{285714} \ln (| 37.5 - 3.5 x |)}{- 0.\overline{285714}} = \frac{t}{- 0.\overline{285714}} + \frac{C}{- 0.\overline{285714}}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Dividi $\ln (| 37.5 - 3.5 x |)$ per $1$ .

$\ln (| 37.5 - 3.5 x |) = \frac{t}{- 0.\overline{285714}} + \frac{C}{- 0.\overline{285714}}$

Passaggio 3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\ln (| 37.5 - 3.5 x |) = - \frac{t}{0.\overline{285714}} + \frac{C}{- 0.\overline{285714}}$

Passaggio 3.1.3.1.2

Moltiplica per $1$ .

$\ln (| 37.5 - 3.5 x |) = - \frac{1 t}{0.\overline{285714}} + \frac{C}{- 0.\overline{285714}}$

Passaggio 3.1.3.1.3

Scomponi $0.\overline{285714}$ da $0.\overline{285714}$ .

$\ln (| 37.5 - 3.5 x |) = - \frac{1 t}{0.\overline{285714} (1)} + \frac{C}{- 0.\overline{285714}}$

Passaggio 3.1.3.1.4

Frazioni separate.

$\ln (| 37.5 - 3.5 x |) = - (\frac{1}{0.\overline{285714}} \cdot \frac{t}{1}) + \frac{C}{- 0.\overline{285714}}$

Passaggio 3.1.3.1.5

Dividi $1$ per $0.\overline{285714}$ .

$\ln (| 37.5 - 3.5 x |) = - (3.5 \frac{t}{1}) + \frac{C}{- 0.\overline{285714}}$

Passaggio 3.1.3.1.6

Dividi $t$ per $1$ .

$\ln (| 37.5 - 3.5 x |) = - (3.5 t) + \frac{C}{- 0.\overline{285714}}$

Passaggio 3.1.3.1.7

Moltiplica $3.5$ per $- 1$ .

$\ln (| 37.5 - 3.5 x |) = - 3.5 t + \frac{C}{- 0.\overline{285714}}$

Passaggio 3.1.3.1.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\ln (| 37.5 - 3.5 x |) = - 3.5 t - \frac{C}{0.\overline{285714}}$

Passaggio 3.1.3.1.9

Moltiplica per $1$ .

$\ln (| 37.5 - 3.5 x |) = - 3.5 t - \frac{1 C}{0.\overline{285714}}$

Passaggio 3.1.3.1.10

Scomponi $0.\overline{285714}$ da $0.\overline{285714}$ .

$\ln (| 37.5 - 3.5 x |) = - 3.5 t - \frac{1 C}{0.\overline{285714} (1)}$

Passaggio 3.1.3.1.11

Frazioni separate.

$\ln (| 37.5 - 3.5 x |) = - 3.5 t - (\frac{1}{0.\overline{285714}} \cdot \frac{C}{1})$

Passaggio 3.1.3.1.12

Dividi $1$ per $0.\overline{285714}$ .

$\ln (| 37.5 - 3.5 x |) = - 3.5 t - (3.5 \frac{C}{1})$

Passaggio 3.1.3.1.13

Dividi $C$ per $1$ .

$\ln (| 37.5 - 3.5 x |) = - 3.5 t - (3.5 C)$

Passaggio 3.1.3.1.14

Moltiplica $3.5$ per $- 1$ .

$\ln (| 37.5 - 3.5 x |) = - 3.5 t - 3.5 C$

Passaggio 3.2

Per risolvere per $x$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| 37.5 - 3.5 x |)} = e^{- 3.5 t - 3.5 C}$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\ln (| 37.5 - 3.5 x |) = - 3.5 t - 3.5 C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 3.5 t - 3.5 C} = | 37.5 - 3.5 x |$

Passaggio 3.4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'equazione come $| 37.5 - 3.5 x | = e^{- 3.5 t - 3.5 C}$ .

$| 37.5 - 3.5 x | = e^{- 3.5 t - 3.5 C}$

Passaggio 3.4.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$37.5 - 3.5 x = \pm e^{- 3.5 t - 3.5 C}$

Passaggio 3.4.3

Sottrai $37.5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 3.5 x = \pm e^{- 3.5 t - 3.5 C} - 37.5$

Passaggio 3.4.4

Dividi per $- 3.5$ ciascun termine in $- 3.5 x = \pm e^{- 3.5 t - 3.5 C} - 37.5$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1

Dividi per $- 3.5$ ciascun termine in $- 3.5 x = \pm e^{- 3.5 t - 3.5 C} - 37.5$ .

$\frac{- 3.5 x}{- 3.5} = \frac{\pm e^{- 3.5 t - 3.5 C}}{- 3.5} + \frac{- 37.5}{- 3.5}$

Passaggio 3.4.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3.5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3.5 x}{- 3.5} = \frac{\pm e^{- 3.5 t - 3.5 C}}{- 3.5} + \frac{- 37.5}{- 3.5}$

Passaggio 3.4.4.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\pm e^{- 3.5 t - 3.5 C}}{- 3.5} + \frac{- 37.5}{- 3.5}$

Passaggio 3.4.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.3.1.1

Semplifica $\frac{\pm e^{- 3.5 t - 3.5 C}}{- 3.5}$ .

$x = \frac{\pm e^{- 3.5 t - 3.5 C}}{3.5} + \frac{- 37.5}{- 3.5}$

Passaggio 3.4.4.3.1.2

Moltiplica per $1$ .

$x = \frac{1 (\pm e^{- 3.5 t - 3.5 C})}{3.5} + \frac{- 37.5}{- 3.5}$

Passaggio 3.4.4.3.1.3

Scomponi $3.5$ da $3.5$ .

$x = \frac{1 (\pm e^{- 3.5 t - 3.5 C})}{3.5 (1)} + \frac{- 37.5}{- 3.5}$

Passaggio 3.4.4.3.1.4

Frazioni separate.

$x = \frac{1}{3.5} \cdot \frac{\pm e^{- 3.5 t - 3.5 C}}{1} + \frac{- 37.5}{- 3.5}$

Passaggio 3.4.4.3.1.5

Dividi $1$ per $3.5$ .

$x = 0.\overline{285714} \frac{\pm e^{- 3.5 t - 3.5 C}}{1} + \frac{- 37.5}{- 3.5}$

Passaggio 3.4.4.3.1.6

Dividi $\pm e^{- 3.5 t - 3.5 C}$ per $1$ .

$x = 0.\overline{285714} (\pm e^{- 3.5 t - 3.5 C}) + \frac{- 37.5}{- 3.5}$

Passaggio 3.4.4.3.1.7

Dividi $- 37.5$ per $- 3.5$ .

$x = 0.\overline{285714} (\pm e^{- 3.5 t - 3.5 C}) + 10.\overline{714285}$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$x = 0.\overline{285714} (\pm e^{- 3.5 t + C}) + 10.\overline{714285}$

Passaggio 4.2

Riscrivi $e^{- 3.5 t + C}$ come $e^{- 3.5 t} e^{C}$ .

$x = 0.\overline{285714} (\pm e^{- 3.5 t} e^{C}) + 10.\overline{714285}$

Passaggio 4.3

Riordina $e^{- 3.5 t}$ e $e^{C}$ .

$x = 0.\overline{285714} (\pm e^{C} e^{- 3.5 t}) + 10.\overline{714285}$

Passaggio 4.4

Combina costanti con il più o il meno.

$x = 0.\overline{285714} (C e^{- 3.5 t}) + 10.\overline{714285}$