Calcolo Esempi

$\frac{y d y}{t d t} = e^{t^{2}}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Metti in evidenza $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{y}{t} \frac{d y}{d t} = e^{t^{2}}$

Passaggio 1.2

Risolvi per $\frac{d y}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

$\frac{y}{t}$ e $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{y \frac{d y}{d t}}{t} = e^{t^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica ogni lato per $t$ .

$\frac{y \frac{d y}{d t}}{t} t = e^{t^{2}} t$

Passaggio 1.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.1

Elimina il fattore comune di $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \frac{d y}{d t}}{t} t = e^{t^{2}} t$

Passaggio 1.2.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y \frac{d y}{d t} = e^{t^{2}} t$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Riordina i fattori in $e^{t^{2}} t$ .

$y \frac{d y}{d t} = t e^{t^{2}}$

Passaggio 1.2.4

Dividi per $y$ ciascun termine in $y \frac{d y}{d t} = t e^{t^{2}}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Dividi per $y$ ciascun termine in $y \frac{d y}{d t} = t e^{t^{2}}$ .

$\frac{y \frac{d y}{d t}}{y} = \frac{t e^{t^{2}}}{y}$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \frac{d y}{d t}}{y} = \frac{t e^{t^{2}}}{y}$

Passaggio 1.2.4.2.1.2

Dividi $\frac{d y}{d t}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{t e^{t^{2}}}{y}$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni lato per $y$ .

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{t e^{t^{2}}}{y}$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Elimina il fattore comune.

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{t e^{t^{2}}}{y}$

Passaggio 1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y \frac{d y}{d t} = t e^{t^{2}}$

Passaggio 1.5

Riscrivi l'equazione.

$y d y = t e^{t^{2}} d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y d y = \int t e^{t^{2}} d t$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int t e^{t^{2}} d t$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sia $u = t^{2}$ . Allora $d u = 2 t d t$ , quindi $\frac{1}{2} d u = t d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Sia $u = t^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.1

Differenzia $t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 2.3.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 t$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2.3.2

$e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Passaggio 2.3.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

Passaggio 2.3.4

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2})$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} e^{u} + C_{2}$

Passaggio 2.3.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $t^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} e^{t^{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} e^{t^{2}} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} e^{t^{2}} + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} e^{t^{2}} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} e^{t^{2}} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} e^{t^{2}} + K)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} e^{t^{2}} + K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

$\frac{1}{2}$ e $e^{t^{2}}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{e^{t^{2}}}{2} + K)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} = 2 \frac{e^{t^{2}}}{2} + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$y^{2} = 2 \frac{e^{t^{2}}}{2} + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = e^{t^{2}} + 2 K$

Passaggio 3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{e^{t^{2}} + 2 K}$

Passaggio 3.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \sqrt{e^{t^{2}} + 2 K}$

Passaggio 3.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \sqrt{e^{t^{2}} + 2 K}$

Passaggio 3.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \sqrt{e^{t^{2}} + 2 K}$

$y = - \sqrt{e^{t^{2}} + 2 K}$

$y = \sqrt{e^{t^{2}} + 2 K}$

$y = - \sqrt{e^{t^{2}} + 2 K}$

$y = \sqrt{e^{t^{2}} + 2 K}$

$y = - \sqrt{e^{t^{2}} + 2 K}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \sqrt{e^{t^{2}} + K}$

$y = - \sqrt{e^{t^{2}} + K}$