Calcolo Esempi

$y e^{x} d x + e^{x} d y = 0$

Passaggio 1

Sottrai $y e^{x} d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$e^{x} d y = - y e^{x} d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{e^{x} y}$ .

$\frac{1}{e^{x} y} e^{x} d y = \frac{1}{e^{x} y} (- y e^{x}) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $e^{x}$ .

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Passaggio 3.1.1

Scomponi $e^{x}$ da $e^{x} y$ .

$\frac{1}{e^{x} (y)} e^{x} d y = \frac{1}{e^{x} y} (- y e^{x}) d x$

Passaggio 3.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{e^{x} y} e^{x} d y = \frac{1}{e^{x} y} (- y e^{x}) d x$

Passaggio 3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{e^{x} y} (- y e^{x}) d x$

Passaggio 3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{e^{x} y} (y e^{x}) d x$

Passaggio 3.3

Elimina il fattore comune di $y e^{x}$ .

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Passaggio 3.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{e^{x} y}$ nel numeratore.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{e^{x} y} (y e^{x}) d x$

Passaggio 3.3.2

Scomponi $y e^{x}$ da $e^{x} y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y e^{x} (1)} (y e^{x}) d x$

Passaggio 3.3.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y e^{x} \cdot 1} (y e^{x}) d x$

Passaggio 3.3.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} d y = - 1 d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - 1 d x$

Passaggio 4.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - 1 d x$

Passaggio 4.3

Applica la regola costante.

$\ln (| y |) + C_{1} = - x + C_{2}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y |) = - x + C$

Passaggio 5

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 5.1

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- x + C}$

Passaggio 5.2

Riscrivi $\ln (| y |) = - x + C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- x + C} = | y |$

Passaggio 5.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 5.3.1

Riscrivi l'equazione come $| y | = e^{- x + C}$ .

$| y | = e^{- x + C}$

Passaggio 5.3.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- x + C}$

Passaggio 6

Raggruppa i termini costanti.

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Passaggio 6.1

Riscrivi $e^{- x + C}$ come $e^{- x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- x} e^{C}$

Passaggio 6.2

Riordina $e^{- x}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- x}$

Passaggio 6.3

Combina costanti con il più o il meno.

$y = C e^{- x}$