Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} + 2 = 3 x$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Passaggio 1.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = 3 x - 2$

Passaggio 1.2

Scomponi $y$ da $\frac{3 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{3}{x} = 3 x - 2$

Passaggio 1.3

Riordina $y$ e $\frac{3}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y = 3 x - 2$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = \frac{3}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{3}{x} d x}$

Passaggio 2.2

Integra $\frac{3}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$e^{3 \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$e^{3 (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica.

$e^{3 \ln (| x |) + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{3 \ln (x)}$

Passaggio 2.4

Usa la regola della potenza logaritmica.

$e^{\ln (x^{3})}$

Passaggio 2.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$x^{3}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $x^{3}$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} (\frac{3}{x} y) = x^{3} (3 x) + x^{3} \cdot - 2$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

$\frac{3}{x}$ e $y$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{3 y}{x} = x^{3} (3 x) + x^{3} \cdot - 2$

Passaggio 3.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} (3 x) + x^{3} \cdot - 2$

Passaggio 3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} (3 x) + x^{3} \cdot - 2$

Passaggio 3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{2} (3 y) = x^{3} (3 x) + x^{3} \cdot - 2$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{3} (3 x) + x^{3} \cdot - 2$

Passaggio 3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = 3 x^{3} x + x^{3} \cdot - 2$

Passaggio 3.3.2

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.3.2.1

Sposta $x$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = 3 (x \cdot x^{3}) + x^{3} \cdot - 2$

Passaggio 3.3.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ .

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Passaggio 3.3.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = 3 (x^{1} x^{3}) + x^{3} \cdot - 2$

Passaggio 3.3.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = 3 x^{1 + 3} + x^{3} \cdot - 2$

Passaggio 3.3.2.3

Somma $1$ e $3$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = 3 x^{4} + x^{3} \cdot - 2$

Passaggio 3.3.3

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = 3 x^{4} - 2 x^{3}$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [x^{3} y] = 3 x^{4} - 2 x^{3}$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [x^{3} y] d x = \int 3 x^{4} - 2 x^{3} d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$x^{3} y = \int 3 x^{4} - 2 x^{3} d x$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

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Passaggio 7.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$x^{3} y = \int 3 x^{4} d x + \int - 2 x^{3} d x$

Passaggio 7.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$x^{3} y = 3 \int x^{4} d x + \int - 2 x^{3} d x$

Passaggio 7.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$x^{3} y = 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int - 2 x^{3} d x$

Passaggio 7.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$x^{3} y = 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 2 \int x^{3} d x$

Passaggio 7.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$x^{3} y = 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Passaggio 7.6

Semplifica.

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Passaggio 7.6.1

Semplifica.

$x^{3} y = 3 (\frac{1}{5}) x^{5} - 2 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

Passaggio 7.6.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.2.1

$3$ e $\frac{1}{5}$ .

$x^{3} y = \frac{3}{5} x^{5} - 2 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

Passaggio 7.6.2.2

$- 2$ e $\frac{1}{4}$ .

$x^{3} y = \frac{3}{5} x^{5} + \frac{- 2}{4} x^{4} + C$

Passaggio 7.6.2.3

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.2.3.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$x^{3} y = \frac{3}{5} x^{5} + \frac{2 (- 1)}{4} x^{4} + C$

Passaggio 7.6.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$x^{3} y = \frac{3}{5} x^{5} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} x^{4} + C$

Passaggio 7.6.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$x^{3} y = \frac{3}{5} x^{5} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} x^{4} + C$

Passaggio 7.6.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{3} y = \frac{3}{5} x^{5} + \frac{- 1}{2} x^{4} + C$

Passaggio 7.6.2.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x^{3} y = \frac{3}{5} x^{5} - \frac{1}{2} x^{4} + C$

Passaggio 8

Dividi per $x^{3}$ ciascun termine in $x^{3} y = \frac{3}{5} x^{5} - \frac{1}{2} x^{4} + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Dividi per $x^{3}$ ciascun termine in $x^{3} y = \frac{3}{5} x^{5} - \frac{1}{2} x^{4} + C$ .

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{\frac{3}{5} x^{5}}{x^{3}} + \frac{- \frac{1}{2} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{\frac{3}{5} x^{5}}{x^{3}} + \frac{- \frac{1}{2} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\frac{3}{5} x^{5}}{x^{3}} + \frac{- \frac{1}{2} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x^{5}$ e $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.1

Scomponi $x^{3}$ da $\frac{3}{5} x^{5}$ .

$y = \frac{x^{3} (\frac{3}{5} x^{2})}{x^{3}} + \frac{- \frac{1}{2} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Passaggio 8.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.2.1

Moltiplica per $1$ .

$y = \frac{x^{3} (\frac{3}{5} x^{2})}{x^{3} \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{2} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Passaggio 8.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{x^{3} (\frac{3}{5} x^{2})}{x^{3} \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{2} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Passaggio 8.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{\frac{3}{5} x^{2}}{1} + \frac{- \frac{1}{2} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Passaggio 8.3.1.1.2.4

Dividi $\frac{3}{5} x^{2}$ per $1$ .

$y = \frac{3}{5} x^{2} + \frac{- \frac{1}{2} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Passaggio 8.3.1.2

$\frac{3}{5}$ e $x^{2}$ .

$y = \frac{3 x^{2}}{5} + \frac{- \frac{1}{2} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Passaggio 8.3.1.3

Elimina il fattore comune di $x^{4}$ e $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.3.1

Scomponi $x^{3}$ da $- \frac{1}{2} x^{4}$ .

$y = \frac{3 x^{2}}{5} + \frac{x^{3} (- \frac{1}{2} x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Passaggio 8.3.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.3.2.1

Moltiplica per $1$ .

$y = \frac{3 x^{2}}{5} + \frac{x^{3} (- \frac{1}{2} x)}{x^{3} \cdot 1} + \frac{C}{x^{3}}$

Passaggio 8.3.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{3 x^{2}}{5} + \frac{x^{3} (- \frac{1}{2} x)}{x^{3} \cdot 1} + \frac{C}{x^{3}}$

Passaggio 8.3.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{3 x^{2}}{5} + \frac{- \frac{1}{2} x}{1} + \frac{C}{x^{3}}$

Passaggio 8.3.1.3.2.4

Dividi $- \frac{1}{2} x$ per $1$ .

$y = \frac{3 x^{2}}{5} - \frac{1}{2} x + \frac{C}{x^{3}}$

Passaggio 8.3.1.4

$x$ e $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{3 x^{2}}{5} - \frac{x}{2} + \frac{C}{x^{3}}$