Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 5}{2 y - 1}$ , $y (0) = 11$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $2 y - 1$ .

$(2 y - 1) \frac{d y}{d x} = (2 y - 1) \frac{x^{2} + 5}{2 y - 1}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $2 y - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$(2 y - 1) \frac{d y}{d x} = (2 y - 1) \frac{x^{2} + 5}{2 y - 1}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$(2 y - 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} + 5$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$(2 y - 1) d y = (x^{2} + 5) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int 2 y - 1 d y = \int x^{2} + 5 d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 2 y d y + \int - 1 d y = \int x^{2} + 5 d x$

Passaggio 2.2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int y d y + \int - 1 d y = \int x^{2} + 5 d x$

Passaggio 2.2.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int - 1 d y = \int x^{2} + 5 d x$

Passaggio 2.2.4

Applica la regola costante.

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - y + C_{2} = \int x^{2} + 5 d x$

Passaggio 2.2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - y + C_{2} = \int x^{2} + 5 d x$

Passaggio 2.2.5.2

Semplifica.

$y^{2} - y + C_{3} = \int x^{2} + 5 d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y^{2} - y + C_{3} = \int x^{2} d x + \int 5 d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y^{2} - y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \int 5 d x$

Passaggio 2.3.3

Applica la regola costante.

$y^{2} - y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + 5 x + C_{5}$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

$y^{2} - y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + 5 x + C_{6}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y^{2} - y = \frac{1}{3} x^{3} + 5 x + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$y^{2} - y = \frac{x^{3}}{3} + 5 x + K$

Passaggio 3.2

Sposta tutte le espressioni sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sottrai $\frac{x^{3}}{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} - y - \frac{x^{3}}{3} = 5 x + K$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $5 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} - y - \frac{x^{3}}{3} - 5 x = K$

Passaggio 3.2.3

Sottrai $K$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} - y - \frac{x^{3}}{3} - 5 x - K = 0$

Passaggio 3.3

Moltiplica per il minimo comune denominatore $3$ , quindi semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 y^{2} + 3 (- y) + 3 (- \frac{x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

Passaggio 3.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$3 y^{2} - 3 y + 3 (- \frac{x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

Passaggio 3.3.2.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{x^{3}}{3}$ nel numeratore.

$3 y^{2} - 3 y + 3 (\frac{- x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

Passaggio 3.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$3 y^{2} - 3 y + 3 (\frac{- x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

Passaggio 3.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$3 y^{2} - 3 y - x^{3} + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

Passaggio 3.3.2.3

Moltiplica $- 5$ per $3$ .

$3 y^{2} - 3 y - x^{3} - 15 x + 3 (- K) = 0$

Passaggio 3.3.2.4

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$3 y^{2} - 3 y - x^{3} - 15 x - 3 K = 0$

Passaggio 3.3.3

Sposta $- 15 x$ .

$3 y^{2} - 3 y - x^{3} - 3 K - 15 x = 0$

Passaggio 3.3.4

Sposta $- 3 y$ .

$3 y^{2} - x^{3} - 3 K - 3 y - 15 x = 0$

Passaggio 3.3.5

Riordina $3 y^{2}$ e $- x^{3}$ .

$- x^{3} + 3 y^{2} - 3 K - 3 y - 15 x = 0$

Passaggio 3.4

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.5

Sostituisci i valori $a = 3$ , $b = - 3$ e $c = - x^{3} - 3 K - 15 x$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot (- x^{3} - 3 K - 15 x))}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3 \cdot (- x^{3} - 3 K - 15 x)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.6.1.2

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 12 \cdot (- x^{3} - 3 K - 15 x)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.6.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 12 (- x^{3}) - 12 (- 3 K) - 12 (- 15 x)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.6.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 12$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{3} - 12 (- 3 K) - 12 (- 15 x)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.6.1.4.2

Moltiplica $- 3$ per $- 12$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{3} + 36 K - 12 (- 15 x)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.6.1.4.3

Moltiplica $- 15$ per $- 12$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{3} + 36 K + 180 x}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.6.1.5

Scomponi $3$ da $9 + 12 x^{3} + 36 K + 180 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.5.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 12 x^{3} + 36 K + 180 x}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.6.1.5.2

Scomponi $3$ da $12 x^{3}$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 3 (4 x^{3}) + 36 K + 180 x}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.6.1.5.3

Scomponi $3$ da $36 K$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 3 (4 x^{3}) + 3 (12 K) + 180 x}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.6.1.5.4

Scomponi $3$ da $180 x$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 3 (4 x^{3}) + 3 (12 K) + 3 (60 x)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.6.1.5.5

Scomponi $3$ da $3 (3) + 3 (4 x^{3})$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 4 x^{3}) + 3 (12 K) + 3 (60 x)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.6.1.5.6

Scomponi $3$ da $3 (3 + 4 x^{3}) + 3 (12 K)$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K) + 3 (60 x)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.6.1.5.7

Scomponi $3$ da $3 (3 + 4 x^{3} + 12 K) + 3 (60 x)$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

Passaggio 3.7

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + K + 60 x)}}{6}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + K + 60 x)}}{6}$

Passaggio 5

Poiché $y$ è positiva nella condizione iniziale $(0, 11)$ , considera solo $y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + K + 60 x)}}{6}$ per calcolare $K$ . Sostituisci $0$ a $x$ e $11$ a $y$ .

$11 = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6}$

Passaggio 6

Risolvi per $K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6} = 11$ .

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6} = 11$

Passaggio 6.2

Moltiplica ogni lato per $6$ .

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

Passaggio 6.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1

Semplifica $\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6} \cdot 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0 + K + 60 \cdot 0)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

Passaggio 6.3.1.1.1.2

Moltiplica $4$ per $0$ .

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 0 + K + 60 \cdot 0)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

Passaggio 6.3.1.1.1.3

Moltiplica $60$ per $0$ .

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 0 + K + 0)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

Passaggio 6.3.1.1.1.4

Somma $3 + 0 + K$ e $0$ .

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 0 + K)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

Passaggio 6.3.1.1.1.5

Somma $3$ e $0$ .

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + K)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

Passaggio 6.3.1.1.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1.2.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + K)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

Passaggio 6.3.1.1.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$3 + \sqrt{3 (3 + K)} = 11 \cdot 6$

Passaggio 6.3.1.1.2.2

Riordina $3$ e $K$ .

$3 + \sqrt{3 (K + 3)} = 11 \cdot 6$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Moltiplica $11$ per $6$ .

$3 + \sqrt{3 (K + 3)} = 66$

Passaggio 6.4

Risolvi per $K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\sqrt{3 (K + 3)}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sqrt{3 (K + 3)} = 66 - 3$

Passaggio 6.4.1.2

Sottrai $3$ da $66$ .

$\sqrt{3 (K + 3)} = 63$

Passaggio 6.4.2

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{3 (K + 3)}}^{2} = 63^{2}$

Passaggio 6.4.3

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3 (K + 3)}$ come ${(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 63^{2}$

Passaggio 6.4.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.2.1

Semplifica ${({(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 63^{2}$

Passaggio 6.4.3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 63^{2}$

Passaggio 6.4.3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(3 (K + 3))}^{1} = 63^{2}$

Passaggio 6.4.3.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

${(3 K + 3 \cdot 3)}^{1} = 63^{2}$

Passaggio 6.4.3.2.1.3

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.2.1.3.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

${(3 K + 9)}^{1} = 63^{2}$

Passaggio 6.4.3.2.1.3.2

Semplifica.

$3 K + 9 = 63^{2}$

Passaggio 6.4.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.3.1

Eleva $63$ alla potenza di $2$ .

$3 K + 9 = 3969$

Passaggio 6.4.4

Risolvi per $K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.4.1

Sposta tutti i termini non contenenti $K$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.4.1.1

Sottrai $9$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 K = 3969 - 9$

Passaggio 6.4.4.1.2

Sottrai $9$ da $3969$ .

$3 K = 3960$

Passaggio 6.4.4.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 K = 3960$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.4.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 K = 3960$ .

$\frac{3 K}{3} = \frac{3960}{3}$

Passaggio 6.4.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 K}{3} = \frac{3960}{3}$

Passaggio 6.4.4.2.2.1.2

Dividi $K$ per $1$ .

$K = \frac{3960}{3}$

Passaggio 6.4.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.4.2.3.1

Dividi $3960$ per $3$ .

$K = 1320$

Passaggio 7

Sostituisci $1320$ a $K$ in $y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + K + 60 x)}}{6}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci $1320$ a $K$ .

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 1320 + 60 x)}}{6}$

Passaggio 7.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Somma $3$ e $1320$ .

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (4 x^{3} + 1323 + 60 x)}}{6}$

Passaggio 7.2.2

Riordina i termini.

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (4 x^{3} + 60 x + 1323)}}{6}$