Calcolo Esempi

\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 5}{2 y - 1}

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 5}{2 y - 1}$ ,

y (0) = 11

$y (0) = 11$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per

2 y - 1

$2 y - 1$ .

(2 y - 1) \frac{d y}{d x} = (2 y - 1) \frac{x^{2} + 5}{2 y - 1}

$(2 y - 1) \frac{d y}{d x} = (2 y - 1) \frac{x^{2} + 5}{2 y - 1}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di

2 y - 1

$2 y - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$(2 y - 1) \frac{d y}{d x} = (2 y - 1) \frac{x^{2} + 5}{2 y - 1}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$(2 y - 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} + 5$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$(2 y - 1) d y = (x^{2} + 5) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int 2 y - 1 d y = \int x^{2} + 5 d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 2 y d y + \int - 1 d y = \int x^{2} + 5 d x$

Passaggio 2.2.2

Poiché

$2$ è costante rispetto a

$y$ , sposta

$2$ fuori dall'integrale.

$2 \int y d y + \int - 1 d y = \int x^{2} + 5 d x$

Passaggio 2.2.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di

$y$ rispetto a

$y$ è

$\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int - 1 d y = \int x^{2} + 5 d x$

Passaggio 2.2.4

Applica la regola costante.

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - y + C_{2} = \int x^{2} + 5 d x$

Passaggio 2.2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

$\frac{1}{2}$ e

$y^{2}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - y + C_{2} = \int x^{2} + 5 d x$

Passaggio 2.2.5.2

Semplifica.

$y^{2} - y + C_{3} = \int x^{2} + 5 d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y^{2} - y + C_{3} = \int x^{2} d x + \int 5 d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di

$x^{2}$ rispetto a

$x$ è

$\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y^{2} - y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \int 5 d x$

Passaggio 2.3.3

Applica la regola costante.

$y^{2} - y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + 5 x + C_{5}$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

$y^{2} - y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + 5 x + C_{6}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come

$K$ .

$y^{2} - y = \frac{1}{3} x^{3} + 5 x + K$

Passaggio 3

Risolvi per

$y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

$\frac{1}{3}$ e

$x^{3}$ .

$y^{2} - y = \frac{x^{3}}{3} + 5 x + K$

Passaggio 3.2

Sposta tutte le espressioni sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sottrai

$\frac{x^{3}}{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} - y - \frac{x^{3}}{3} = 5 x + K$

Passaggio 3.2.2

Sottrai

$5 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} - y - \frac{x^{3}}{3} - 5 x = K$

Passaggio 3.2.3

Sottrai

$K$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} - y - \frac{x^{3}}{3} - 5 x - K = 0$

Passaggio 3.3

Moltiplica per il minimo comune denominatore

$3$ , quindi semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 y^{2} + 3 (- y) + 3 (- \frac{x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

Passaggio 3.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Moltiplica

$- 1$ per

$3$ .

$3 y^{2} - 3 y + 3 (- \frac{x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

Passaggio 3.3.2.2

Elimina il fattore comune di

$3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Sposta il negativo all'inizio di

$- \frac{x^{3}}{3}$ nel numeratore.

$3 y^{2} - 3 y + 3 (\frac{- x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

Passaggio 3.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$3 y^{2} - 3 y + 3 (\frac{- x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

Passaggio 3.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$3 y^{2} - 3 y - x^{3} + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

Passaggio 3.3.2.3

Moltiplica

$- 5$ per

$3$ .

$3 y^{2} - 3 y - x^{3} - 15 x + 3 (- K) = 0$

Passaggio 3.3.2.4

Moltiplica

$- 1$ per

$3$ .

$3 y^{2} - 3 y - x^{3} - 15 x - 3 K = 0$

Passaggio 3.3.3

Sposta

$- 15 x$ .

$3 y^{2} - 3 y - x^{3} - 3 K - 15 x = 0$

Passaggio 3.3.4

Sposta

$- 3 y$ .

$3 y^{2} - x^{3} - 3 K - 3 y - 15 x = 0$

Passaggio 3.3.5

Riordina

$3 y^{2}$ e

$- x^{3}$ .

$- x^{3} + 3 y^{2} - 3 K - 3 y - 15 x = 0$

Passaggio 3.4

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.5

Sostituisci i valori

$a = 3$ ,

$b = - 3$ e

$c = - x^{3} - 3 K - 15 x$ nella formula quadratica e risolvi per

$y$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot (- x^{3} - 3 K - 15 x))}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.1

Eleva

$- 3$ alla potenza di

$2$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3 \cdot (- x^{3} - 3 K - 15 x)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.6.1.2

Moltiplica

$- 4$ per

$3$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 12 \cdot (- x^{3} - 3 K - 15 x)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.6.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 12 (- x^{3}) - 12 (- 3 K) - 12 (- 15 x)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.6.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.4.1

Moltiplica

$- 1$ per

$- 12$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{3} - 12 (- 3 K) - 12 (- 15 x)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.6.1.4.2

Moltiplica

$- 3$ per

$- 12$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{3} + 36 K - 12 (- 15 x)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.6.1.4.3

Moltiplica

$- 15$ per

$- 12$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{3} + 36 K + 180 x}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.6.1.5

Scomponi

$3$ da

$9 + 12 x^{3} + 36 K + 180 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.5.1

Scomponi

$3$ da

$9$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 12 x^{3} + 36 K + 180 x}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.6.1.5.2

Scomponi

$3$ da

$12 x^{3}$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 3 (4 x^{3}) + 36 K + 180 x}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.6.1.5.3

Scomponi

$3$ da

$36 K$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 3 (4 x^{3}) + 3 (12 K) + 180 x}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.6.1.5.4

Scomponi

$3$ da

$180 x$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 3 (4 x^{3}) + 3 (12 K) + 3 (60 x)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.6.1.5.5

Scomponi

$3$ da

$3 (3) + 3 (4 x^{3})$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 4 x^{3}) + 3 (12 K) + 3 (60 x)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.6.1.5.6

Scomponi

$3$ da

$3 (3 + 4 x^{3}) + 3 (12 K)$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K) + 3 (60 x)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.6.1.5.7

Scomponi

$3$ da

$3 (3 + 4 x^{3} + 12 K) + 3 (60 x)$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica

$2$ per

$3$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

Passaggio 3.7

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + K + 60 x)}}{6}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + K + 60 x)}}{6}$

Passaggio 5

Poiché

$y$ è positiva nella condizione iniziale

$(0, 11)$ , considera solo

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + K + 60 x)}}{6}$ per calcolare

$K$ . Sostituisci

$0$ a

$x$ e

$11$ a

$y$ .

$11 = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6}$

Passaggio 6

Risolvi per

$K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riscrivi l'equazione come

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6} = 11$ .

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6} = 11$

Passaggio 6.2

Moltiplica ogni lato per

$6$ .

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

Passaggio 6.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1

Semplifica

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6} \cdot 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1.1.1

Elevando

$0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene

$0$ .

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0 + K + 60 \cdot 0)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

Passaggio 6.3.1.1.1.2

Moltiplica

$4$ per

$0$ .

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 0 + K + 60 \cdot 0)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

Passaggio 6.3.1.1.1.3

Moltiplica

$60$ per

$0$ .

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 0 + K + 0)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

Passaggio 6.3.1.1.1.4

Somma

$3 + 0 + K$ e

$0$ .

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 0 + K)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

Passaggio 6.3.1.1.1.5

Somma

$3$ e

$0$ .

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + K)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

Passaggio 6.3.1.1.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1.2.1

Elimina il fattore comune di

$6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + K)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

Passaggio 6.3.1.1.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$3 + \sqrt{3 (3 + K)} = 11 \cdot 6$

Passaggio 6.3.1.1.2.2

Riordina

$3$ e

$K$ .

$3 + \sqrt{3 (K + 3)} = 11 \cdot 6$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Moltiplica

$11$ per

$6$ .

$3 + \sqrt{3 (K + 3)} = 66$

Passaggio 6.4

Risolvi per

$K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Sposta tutti i termini non contenenti

$\sqrt{3 (K + 3)}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.1

Sottrai

$3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sqrt{3 (K + 3)} = 66 - 3$

Passaggio 6.4.1.2

Sottrai

$3$ da

$66$ .

$\sqrt{3 (K + 3)} = 63$

Passaggio 6.4.2

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{3 (K + 3)}}^{2} = 63^{2}$

Passaggio 6.4.3

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

$\sqrt{3 (K + 3)}$ come

${(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 63^{2}$

Passaggio 6.4.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.2.1

Semplifica

${({(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in

${({(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 63^{2}$

Passaggio 6.4.3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 63^{2}$

Passaggio 6.4.3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(3 (K + 3))}^{1} = 63^{2}$

Passaggio 6.4.3.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

${(3 K + 3 \cdot 3)}^{1} = 63^{2}$

Passaggio 6.4.3.2.1.3

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.2.1.3.1

Moltiplica

$3$ per

$3$ .

${(3 K + 9)}^{1} = 63^{2}$

Passaggio 6.4.3.2.1.3.2

Semplifica.

$3 K + 9 = 63^{2}$

Passaggio 6.4.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.3.1

Eleva

$63$ alla potenza di

$2$ .

$3 K + 9 = 3969$

Passaggio 6.4.4

Risolvi per

$K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.4.1

Sposta tutti i termini non contenenti

$K$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.4.1.1

Sottrai

$9$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 K = 3969 - 9$

Passaggio 6.4.4.1.2

Sottrai

$9$ da

$3969$ .

$3 K = 3960$

Passaggio 6.4.4.2

Dividi per

$3$ ciascun termine in

$3 K = 3960$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.4.2.1

Dividi per

$3$ ciascun termine in

$3 K = 3960$ .

$\frac{3 K}{3} = \frac{3960}{3}$

Passaggio 6.4.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di

$3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 K}{3} = \frac{3960}{3}$

Passaggio 6.4.4.2.2.1.2

Dividi

$K$ per

$1$ .

$K = \frac{3960}{3}$

Passaggio 6.4.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.4.2.3.1

Dividi

$3960$ per

$3$ .

$K = 1320$

Passaggio 7

Sostituisci

$1320$ a

$K$ in

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + K + 60 x)}}{6}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci

$1320$ a

$K$ .

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 1320 + 60 x)}}{6}$

Passaggio 7.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Somma

$3$ e

$1320$ .

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (4 x^{3} + 1323 + 60 x)}}{6}$

Passaggio 7.2.2

Riordina i termini.

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (4 x^{3} + 60 x + 1323)}}{6}$