Calcolo Esempi

$x \cdot \frac{d y}{d x} + y = x^{4} \ln (x)$

Passaggio 1

Verifica se il lato sinistro dell'equazione sia il risultato della derivata del termine $x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci $\frac{d y}{d x}$ a $y'$ .

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Passaggio 1.5

Riordina $y$ e $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Passaggio 1.6

Moltiplica $y$ per $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y$

Passaggio 2

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [x y] = x^{4} \ln (x)$

Passaggio 3

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int x^{4} \ln (x) d x$

Passaggio 4

Integra il lato sinistro.

$x y = \int x^{4} \ln (x) d x$

Passaggio 5

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (x)$ e $d v = x^{4}$ .

$x y = \ln (x) (\frac{1}{5} x^{5}) - \int \frac{1}{5} x^{5} \frac{1}{x} d x$

Passaggio 5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

$\frac{1}{5}$ e $x^{5}$ .

$x y = \ln (x) \frac{x^{5}}{5} - \int \frac{1}{5} x^{5} \frac{1}{x} d x$

Passaggio 5.2.2

$\ln (x)$ e $\frac{x^{5}}{5}$ .

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - \int \frac{1}{5} x^{5} \frac{1}{x} d x$

Passaggio 5.3

Poiché $\frac{1}{5}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{5}$ fuori dall'integrale.

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - (\frac{1}{5} \int x^{5} \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 5.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

$x^{5}$ e $\frac{1}{x}$ .

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - (\frac{1}{5} \int \frac{x^{5}}{x} d x)$

Passaggio 5.4.2

Elimina il fattore comune di $x^{5}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Scomponi $x$ da $x^{5}$ .

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - (\frac{1}{5} \int \frac{x \cdot x^{4}}{x} d x)$

Passaggio 5.4.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - (\frac{1}{5} \int \frac{x \cdot x^{4}}{x^{1}} d x)$

Passaggio 5.4.2.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - (\frac{1}{5} \int \frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} d x)$

Passaggio 5.4.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - (\frac{1}{5} \int \frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} d x)$

Passaggio 5.4.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - (\frac{1}{5} \int \frac{x^{4}}{1} d x)$

Passaggio 5.4.2.2.5

Dividi $x^{4}$ per $1$ .

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - (\frac{1}{5} \int x^{4} d x)$

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - \frac{1}{5} \int x^{4} d x$

Passaggio 5.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - \frac{1}{5} (\frac{1}{5} x^{5} + C)$

Passaggio 5.6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Riscrivi $\frac{\ln (x) x^{5}}{5} - \frac{1}{5} (\frac{1}{5} x^{5} + C)$ come $\frac{1}{5} \ln (x) x^{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} x^{5} + C$ .

$x y = \frac{1}{5} \ln (x) x^{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} x^{5} + C$

Passaggio 5.6.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1

$\frac{1}{5}$ e $\ln (x)$ .

$x y = \frac{\ln (x)}{5} x^{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} x^{5} + C$

Passaggio 5.6.2.2

$\frac{\ln (x)}{5}$ e $x^{5}$ .

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} x^{5} + C$

Passaggio 5.6.2.3

Moltiplica $\frac{1}{5}$ per $\frac{1}{5}$ .

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - \frac{1}{5 \cdot 5} x^{5} + C$

Passaggio 5.6.2.4

Moltiplica $5$ per $5$ .

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - \frac{1}{25} x^{5} + C$

$x y = \frac{1}{5} \ln (x) x^{5} - \frac{1}{25} x^{5} + C$

Passaggio 6

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

$x^{5}$ e $\frac{1}{25}$ .

$x y = \frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{5}) - \frac{x^{5}}{25} + C$

Passaggio 6.1.2

Rimuovi le parentesi.

$x y = \frac{1}{5} \cdot \ln (x) x^{5} - \frac{x^{5}}{25} + C$

Passaggio 6.2

Dividi per $x$ ciascun termine in $x y = \frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{5}) - \frac{x^{5}}{25} + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x y = \frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{5}) - \frac{x^{5}}{25} + C$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{5})}{x} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{5})}{x} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 6.2.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{5})}{x} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 6.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x^{5}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1.1.1

Scomponi $x$ da $\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{5})$ .

$y = \frac{x (\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{4}))}{x} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 6.2.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y = \frac{x (\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{4}))}{x^{1}} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 6.2.3.1.1.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$y = \frac{x (\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{4}))}{x \cdot 1} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 6.2.3.1.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{x (\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{4}))}{x \cdot 1} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 6.2.3.1.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{4})}{1} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 6.2.3.1.1.2.5

Dividi $\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{4})$ per $1$ .

$y = \frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{4}) + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 6.2.3.1.2

Moltiplica $\frac{1}{5} (\ln (x) x^{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1.2.1

Riordina $\ln (x)$ e $\frac{1}{5}$ .

$y = \frac{1}{5} \ln (x) x^{4} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 6.2.3.1.2.2

Semplifica $\frac{1}{5} \ln (x)$ spostando $\frac{1}{5}$ all'interno del logaritmo.

$y = \ln (x^{\frac{1}{5}}) x^{4} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 6.2.3.1.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y = \ln (x^{\frac{1}{5}}) x^{4} - \frac{x^{5}}{25} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 6.2.3.1.4

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{x^{5}}{25}$ nel numeratore.

$y = \ln (x^{\frac{1}{5}}) x^{4} + \frac{- x^{5}}{25} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 6.2.3.1.4.2

Scomponi $x$ da $- x^{5}$ .

$y = \ln (x^{\frac{1}{5}}) x^{4} + \frac{x (- x^{4})}{25} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 6.2.3.1.4.3

Elimina il fattore comune.

$y = \ln (x^{\frac{1}{5}}) x^{4} + \frac{x (- x^{4})}{25} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 6.2.3.1.4.4

Riscrivi l'espressione.

$y = \ln (x^{\frac{1}{5}}) x^{4} + \frac{- x^{4}}{25} + \frac{C}{x}$

Passaggio 6.2.3.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \ln (x^{\frac{1}{5}}) x^{4} - \frac{x^{4}}{25} + \frac{C}{x}$

Passaggio 6.2.3.2

Riordina i fattori in $\ln (x^{\frac{1}{5}}) x^{4} - \frac{x^{4}}{25} + \frac{C}{x}$ .

$y = x^{4} \ln (x^{\frac{1}{5}}) - \frac{x^{4}}{25} + \frac{C}{x}$