Calcolo Esempi

$\frac{d^{2} x}{d t^{2}} + 4 \frac{d x}{d t} + 5 x = 10$

Passaggio 1

Presupponi che tutte le soluzioni siano del tipo $x = e^{r t}$ .

Passaggio 2

Trova l'equazione caratteristica per $\frac{d^{2} x}{d t^{2}} + 4 \frac{d x}{d t} + 5 x = 10$ .

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Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

$\frac{d x}{d t} = r e^{r t}$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

$\frac{d^{2} x}{d t^{2}} = r^{2} e^{r t}$

Passaggio 2.3

Sostituisci nell'equazione differenziale.

$r^{2} e^{r t} + 4 (r e^{r t}) + 5 e^{r t} = 10$

Passaggio 2.4

Rimuovi le parentesi.

$r^{2} e^{r t} + 4 r e^{r t} + 5 e^{r t} = 10$

Passaggio 2.5

Metti in evidenza $e^{r t}$ .

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Passaggio 2.5.1

Scomponi $e^{r t}$ da $r^{2} e^{r t}$ .

$e^{r t} r^{2} + 4 r e^{r t} + 5 e^{r t} = 10$

Passaggio 2.5.2

Scomponi $e^{r t}$ da $4 r e^{r t}$ .

$e^{r t} r^{2} + e^{r t} (4 r) + 5 e^{r t} = 10$

Passaggio 2.5.3

Scomponi $e^{r t}$ da $e^{r t} r^{2} + e^{r t} (4 r)$ .

$e^{r t} (r^{2} + 4 r) + 5 e^{r t} = 10$

Passaggio 2.5.4

Scomponi $e^{r t}$ da $5 e^{r t}$ .

$e^{r t} (r^{2} + 4 r) + e^{r t} \cdot 5 = 10$

Passaggio 2.5.5

Scomponi $e^{r t}$ da $e^{r t} (r^{2} + 4 r) + e^{r t} \cdot 5$ .

$e^{r t} (r^{2} + 4 r + 5) = 10$

Passaggio 2.6

Poiché gli esponenziali non possono mai essere zero, dividi entrambi i lati per $e^{r t}$ .

$r^{2} + 4 r + 5 = 10$

Passaggio 3

Risolvi per $r$ .

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Passaggio 3.1

Sottrai $10$ da entrambi i lati dell'equazione.

$r^{2} + 4 r + 5 - 10 = 0$

Passaggio 3.2

Sottrai $10$ da $5$ .

$r^{2} + 4 r - 5 = 0$

Passaggio 3.3

Scomponi $r^{2} + 4 r - 5$ usando il metodo AC.

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Passaggio 3.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 5$ e la cui somma è $4$ .

$- 1, 5$

Passaggio 3.3.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$(r - 1) (r + 5) = 0$

Passaggio 3.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$r - 1 = 0$

$r + 5 = 0$

Passaggio 3.5

Imposta $r - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $r$ .

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Passaggio 3.5.1

Imposta $r - 1$ uguale a $0$ .

$r - 1 = 0$

Passaggio 3.5.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$r = 1$

Passaggio 3.6

Imposta $r + 5$ uguale a $0$ e risolvi per $r$ .

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Passaggio 3.6.1

Imposta $r + 5$ uguale a $0$ .

$r + 5 = 0$

Passaggio 3.6.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$r = - 5$

Passaggio 3.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(r - 1) (r + 5) = 0$ vera.

$r = 1, - 5$

Passaggio 4

Con i due valori trovati di $r$ , è possibile costruire due soluzioni.

$x_{1} = e^{1 t}$

$x_{2} = e^{- 5 t}$

Passaggio 5

Secondo il principio di sovrapposizione, la soluzione generale è una combinazione lineare delle due soluzioni di un'equazione differenziale lineare del secondo ordine omogenea.

$x = c_{1} e^{1 t} + c_{2} e^{- 5 t}$

Passaggio 6

Moltiplica $t$ per $1$ .

$x = c_{1} e^{t} + c_{2} e^{- 5 t}$