Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d t} = t^{2} - y$

Passaggio 1

Somma $y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d t} + y = t^{2}$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (t) d t}$ , dove $P (t) = 1$ .

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Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int d t}$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$e^{t + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{t}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{t}$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $e^{t}$ .

$e^{t} \frac{d y}{d t} + e^{t} y = e^{t} t^{2}$

Passaggio 3.2

Riordina i fattori in $e^{t} \frac{d y}{d t} + e^{t} y = e^{t} t^{2}$ .

$e^{t} \frac{d y}{d t} + y e^{t} = t^{2} e^{t}$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d t} [e^{t} y] = t^{2} e^{t}$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d t} [e^{t} y] d t = \int t^{2} e^{t} d t$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$e^{t} y = \int t^{2} e^{t} d t$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

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Passaggio 7.1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = t^{2}$ e $d v = e^{t}$ .

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - \int e^{t} (2 t) d t$

Passaggio 7.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - (2 \int e^{t} (t) d t)$

Passaggio 7.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 \int e^{t} (t) d t$

Passaggio 7.4

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = t$ e $d v = e^{t}$ .

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 (t e^{t} - \int e^{t} d t)$

Passaggio 7.5

L'integrale di $e^{t}$ rispetto a $t$ è $e^{t}$ .

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 (t e^{t} - (e^{t} + C))$

Passaggio 7.6

Riscrivi $t^{2} e^{t} - 2 (t e^{t} - (e^{t} + C))$ come $t^{2} e^{t} - 2 t e^{t} + 2 e^{t} + C$ .

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 t e^{t} + 2 e^{t} + C$

Passaggio 8

Dividi per $e^{t}$ ciascun termine in $e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 t e^{t} + 2 e^{t} + C$ e semplifica.

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Passaggio 8.1

Dividi per $e^{t}$ ciascun termine in $e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 t e^{t} + 2 e^{t} + C$ .

$\frac{e^{t} y}{e^{t}} = \frac{t^{2} e^{t}}{e^{t}} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{t} y}{e^{t}} = \frac{t^{2} e^{t}}{e^{t}} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{t^{2} e^{t}}{e^{t}} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Elimina il fattore comune di $e^{t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{t^{2} e^{t}}{e^{t}} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Passaggio 8.3.1.1.2

Dividi $t^{2}$ per $1$ .

$y = t^{2} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Passaggio 8.3.1.2

Elimina il fattore comune di $e^{t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y = t^{2} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Passaggio 8.3.1.2.2

Dividi $- 2 t$ per $1$ .

$y = t^{2} - 2 t + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Passaggio 8.3.1.3

Elimina il fattore comune di $e^{t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$y = t^{2} - 2 t + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Passaggio 8.3.1.3.2

Dividi $2$ per $1$ .

$y = t^{2} - 2 t + 2 + \frac{C}{e^{t}}$