Calcolo Esempi

$x^{2} \cdot \frac{d y}{d x} + 37 x y = 7 x - 47$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per $x^{2}$ ciascun termine in $x^{2} \cdot \frac{d y}{d x} + 37 x y = 7 x - 47$ .

$\frac{x^{2} \cdot \frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{37 x y}{x^{2}} = \frac{7 x}{x^{2}} + \frac{- 47}{x^{2}}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} \cdot \frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{37 x y}{x^{2}} = \frac{7 x}{x^{2}} + \frac{- 47}{x^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{37 x y}{x^{2}} = \frac{7 x}{x^{2}} + \frac{- 47}{x^{2}}$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Scomponi $x$ da $37 x y$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (37 y)}{x^{2}} = \frac{7 x}{x^{2}} + \frac{- 47}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (37 y)}{x \cdot x} = \frac{7 x}{x^{2}} + \frac{- 47}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (37 y)}{x \cdot x} = \frac{7 x}{x^{2}} + \frac{- 47}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} + \frac{37 y}{x} = \frac{7 x}{x^{2}} + \frac{- 47}{x^{2}}$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Scomponi $x$ da $7 x$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{37 y}{x} = \frac{x \cdot 7}{x^{2}} + \frac{- 47}{x^{2}}$

Passaggio 1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{37 y}{x} = \frac{x \cdot 7}{x \cdot x} + \frac{- 47}{x^{2}}$

Passaggio 1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} + \frac{37 y}{x} = \frac{x \cdot 7}{x \cdot x} + \frac{- 47}{x^{2}}$

Passaggio 1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} + \frac{37 y}{x} = \frac{7}{x} + \frac{- 47}{x^{2}}$

Passaggio 1.5

Scomponi $y$ da $\frac{37 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{37}{x} = \frac{7}{x} + \frac{- 47}{x^{2}}$

Passaggio 1.6

Riordina $y$ e $\frac{37}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{37}{x} y = \frac{7}{x} + \frac{- 47}{x^{2}}$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = \frac{37}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{37}{x} d x}$

Passaggio 2.2

Integra $\frac{37}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $37$ è costante rispetto a $x$ , sposta $37$ fuori dall'integrale.

$e^{37 \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$e^{37 (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica.

$e^{37 \ln (| x |) + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{37 \ln (x)}$

Passaggio 2.4

Usa la regola della potenza logaritmica.

$e^{\ln (x^{37})}$

Passaggio 2.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$x^{37}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $x^{37}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $x^{37}$ .

$x^{37} \frac{d y}{d x} + x^{37} (\frac{37}{x} y) = x^{37} \frac{7}{x} + x^{37} \frac{- 47}{x^{2}}$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

$\frac{37}{x}$ e $y$ .

$x^{37} \frac{d y}{d x} + x^{37} \frac{37 y}{x} = x^{37} \frac{7}{x} + x^{37} \frac{- 47}{x^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Scomponi $x$ da $x^{37}$ .

$x^{37} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{36} \frac{37 y}{x} = x^{37} \frac{7}{x} + x^{37} \frac{- 47}{x^{2}}$

Passaggio 3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$x^{37} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{36} \frac{37 y}{x} = x^{37} \frac{7}{x} + x^{37} \frac{- 47}{x^{2}}$

Passaggio 3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{37} \frac{d y}{d x} + x^{36} (37 y) = x^{37} \frac{7}{x} + x^{37} \frac{- 47}{x^{2}}$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{37} \frac{d y}{d x} + 37 x^{36} y = x^{37} \frac{7}{x} + x^{37} \frac{- 47}{x^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Scomponi $x$ da $x^{37}$ .

$x^{37} \frac{d y}{d x} + 37 x^{36} y = x \cdot x^{36} \frac{7}{x} + x^{37} \frac{- 47}{x^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$x^{37} \frac{d y}{d x} + 37 x^{36} y = x \cdot x^{36} \frac{7}{x} + x^{37} \frac{- 47}{x^{2}}$

Passaggio 3.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{37} \frac{d y}{d x} + 37 x^{36} y = x^{36} \cdot 7 + x^{37} \frac{- 47}{x^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Sposta $7$ alla sinistra di $x^{36}$ .

$x^{37} \frac{d y}{d x} + 37 x^{36} y = 7 \cdot x^{36} + x^{37} \frac{- 47}{x^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{37}$ .

$x^{37} \frac{d y}{d x} + 37 x^{36} y = 7 x^{36} + x^{2} x^{35} \frac{- 47}{x^{2}}$

Passaggio 3.3.3.2

Elimina il fattore comune.

$x^{37} \frac{d y}{d x} + 37 x^{36} y = 7 x^{36} + x^{2} x^{35} \frac{- 47}{x^{2}}$

Passaggio 3.3.3.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{37} \frac{d y}{d x} + 37 x^{36} y = 7 x^{36} + x^{35} \cdot - 47$

Passaggio 3.3.4

Sposta $- 47$ alla sinistra di $x^{35}$ .

$x^{37} \frac{d y}{d x} + 37 x^{36} y = 7 x^{36} - 47 x^{35}$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [x^{37} y] = 7 x^{36} - 47 x^{35}$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [x^{37} y] d x = \int 7 x^{36} - 47 x^{35} d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$x^{37} y = \int 7 x^{36} - 47 x^{35} d x$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$x^{37} y = \int 7 x^{36} d x + \int - 47 x^{35} d x$

Passaggio 7.2

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , sposta $7$ fuori dall'integrale.

$x^{37} y = 7 \int x^{36} d x + \int - 47 x^{35} d x$

Passaggio 7.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{36}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{37} x^{37}$ .

$x^{37} y = 7 (\frac{1}{37} x^{37} + C) + \int - 47 x^{35} d x$

Passaggio 7.4

Poiché $- 47$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 47$ fuori dall'integrale.

$x^{37} y = 7 (\frac{1}{37} x^{37} + C) - 47 \int x^{35} d x$

Passaggio 7.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{35}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{36} x^{36}$ .

$x^{37} y = 7 (\frac{1}{37} x^{37} + C) - 47 (\frac{1}{36} x^{36} + C)$

Passaggio 7.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.1

Semplifica.

$x^{37} y = 7 (\frac{1}{37}) x^{37} - 47 (\frac{1}{36}) x^{36} + C$

Passaggio 7.6.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.2.1

$7$ e $\frac{1}{37}$ .

$x^{37} y = \frac{7}{37} x^{37} - 47 (\frac{1}{36}) x^{36} + C$

Passaggio 7.6.2.2

$- 47$ e $\frac{1}{36}$ .

$x^{37} y = \frac{7}{37} x^{37} + \frac{- 47}{36} x^{36} + C$

Passaggio 7.6.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x^{37} y = \frac{7}{37} x^{37} - \frac{47}{36} x^{36} + C$

Passaggio 8

Dividi per $x^{37}$ ciascun termine in $x^{37} y = \frac{7}{37} x^{37} - \frac{47}{36} x^{36} + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Dividi per $x^{37}$ ciascun termine in $x^{37} y = \frac{7}{37} x^{37} - \frac{47}{36} x^{36} + C$ .

$\frac{x^{37} y}{x^{37}} = \frac{\frac{7}{37} x^{37}}{x^{37}} + \frac{- \frac{47}{36} x^{36}}{x^{37}} + \frac{C}{x^{37}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{37}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{37} y}{x^{37}} = \frac{\frac{7}{37} x^{37}}{x^{37}} + \frac{- \frac{47}{36} x^{36}}{x^{37}} + \frac{C}{x^{37}}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\frac{7}{37} x^{37}}{x^{37}} + \frac{- \frac{47}{36} x^{36}}{x^{37}} + \frac{C}{x^{37}}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x^{37}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{\frac{7}{37} x^{37}}{x^{37}} + \frac{- \frac{47}{36} x^{36}}{x^{37}} + \frac{C}{x^{37}}$

Passaggio 8.3.1.1.2

Dividi $\frac{7}{37}$ per $1$ .

$y = \frac{7}{37} + \frac{- \frac{47}{36} x^{36}}{x^{37}} + \frac{C}{x^{37}}$

Passaggio 8.3.1.2

Elimina il fattore comune di $x^{36}$ e $x^{37}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.2.1

Scomponi $x^{36}$ da $- \frac{47}{36} x^{36}$ .

$y = \frac{7}{37} + \frac{x^{36} (- \frac{47}{36})}{x^{37}} + \frac{C}{x^{37}}$

Passaggio 8.3.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.2.2.1

Scomponi $x^{36}$ da $x^{37}$ .

$y = \frac{7}{37} + \frac{x^{36} (- \frac{47}{36})}{x^{36} x} + \frac{C}{x^{37}}$

Passaggio 8.3.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{7}{37} + \frac{x^{36} (- \frac{47}{36})}{x^{36} x} + \frac{C}{x^{37}}$

Passaggio 8.3.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{7}{37} + \frac{- \frac{47}{36}}{x} + \frac{C}{x^{37}}$

Passaggio 8.3.1.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y = \frac{7}{37} - \frac{47}{36} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x^{37}}$

Passaggio 8.3.1.4

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $\frac{47}{36}$ .

$y = \frac{7}{37} - \frac{47}{x \cdot 36} + \frac{C}{x^{37}}$

Passaggio 8.3.1.5

Sposta $36$ alla sinistra di $x$ .

$y = \frac{7}{37} - \frac{47}{36 x} + \frac{C}{x^{37}}$