Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = x e^{- x}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = x e^{- x} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int x e^{- x} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int x e^{- x} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{- x}$ .

$y + C_{1} = x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x$

Passaggio 2.3.3

Semplifica.

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Passaggio 2.3.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y + C_{1} = x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x$

Passaggio 2.3.3.2

Moltiplica $\int e^{- x} d x$ per $1$ .

$y + C_{1} = x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x$

Passaggio 2.3.4

Sia $u = - x$ . Allora $d u = - d x$ , quindi $- d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.3.4.1

Sia $u = - x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.4.1.1

Differenzia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.3.4.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 2.3.4.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 2.3.4.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u$

Passaggio 2.3.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u$

Passaggio 2.3.6

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$y + C_{1} = x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2})$

Passaggio 2.3.7

Riscrivi $x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2})$ come $- x e^{- x} - e^{u} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = - x e^{- x} - e^{u} + C_{2}$

Passaggio 2.3.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$y + C_{1} = - x e^{- x} - e^{- x} + C_{2}$

Passaggio 2.3.9

Riordina i termini.

$y + C_{1} = - e^{- x} x - e^{- x} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = - e^{- x} x - e^{- x} + K$