Calcolo Esempi

$\frac{d r}{d θ} = - r \tan (θ)$ , $r (π) = 2$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{r}$ .

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{1}{r} (- r \tan (θ))$

Passaggio 1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = - \frac{1}{r} (r \tan (θ))$

Passaggio 1.2.2

Elimina il fattore comune di $r$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{r}$ nel numeratore.

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{- 1}{r} (r \tan (θ))$

Passaggio 1.2.2.2

Scomponi $r$ da $r \tan (θ)$ .

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{- 1}{r} (r (\tan (θ)))$

Passaggio 1.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{- 1}{r} (r \tan (θ))$

Passaggio 1.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = - \tan (θ)$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{r} d r = - \tan (θ) d θ$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{r} d r = \int - \tan (θ) d θ$

Passaggio 2.2

L'integrale di $\frac{1}{r}$ rispetto a $r$ è $\ln (| r |)$ .

$\ln (| r |) + C_{1} = \int - \tan (θ) d θ$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $θ$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (| r |) + C_{1} = - \int \tan (θ) d θ$

Passaggio 2.3.2

L'integrale di $\tan (θ)$ rispetto a $θ$ è $\ln (| \sec (θ) |)$ .

$\ln (| r |) + C_{1} = - (\ln (| \sec (θ) |) + C_{2})$

Passaggio 2.3.3

Semplifica.

$\ln (| r |) + C_{1} = - \ln (| \sec (θ) |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| r |) = - \ln (| \sec (θ) |) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $r$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| r |) + \ln (| \sec (θ) |) = C$

Passaggio 3.2

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| r | | \sec (θ) |) = C$

Passaggio 3.3

Per moltiplicare dei valori assoluti, moltiplica i termini all'interno di ciascun valore assoluto.

$\ln (| r \sec (θ) |) = C$

Passaggio 3.4

Per risolvere per $r$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| r \sec (θ) |)} = e^{C}$

Passaggio 3.5

Riscrivi $\ln (| r \sec (θ) |) = C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | r \sec (θ) |$

Passaggio 3.6

Risolvi per $r$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Riscrivi l'equazione come $| r \sec (θ) | = e^{C}$ .

$| r \sec (θ) | = e^{C}$

Passaggio 3.6.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$r \sec (θ) = \pm e^{C}$

Passaggio 3.6.3

Dividi per $\sec (θ)$ ciascun termine in $r \sec (θ) = \pm e^{C}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.3.1

Dividi per $\sec (θ)$ ciascun termine in $r \sec (θ) = \pm e^{C}$ .

$\frac{r \sec (θ)}{\sec (θ)} = \frac{\pm e^{C}}{\sec (θ)}$

Passaggio 3.6.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.3.2.1

Elimina il fattore comune di $\sec (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{r \sec (θ)}{\sec (θ)} = \frac{\pm e^{C}}{\sec (θ)}$

Passaggio 3.6.3.2.1.2

Dividi $r$ per $1$ .

$r = \frac{\pm e^{C}}{\sec (θ)}$

Passaggio 3.6.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.3.3.1

Frazioni separate.

$r = \frac{\pm e^{C}}{1} \cdot \frac{1}{\sec (θ)}$

Passaggio 3.6.3.3.2

Riscrivi $\sec (θ)$ in termini di seno e coseno.

$r = \frac{\pm e^{C}}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (θ)}}$

Passaggio 3.6.3.3.3

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{\cos (θ)}$ .

$r = \frac{\pm e^{C}}{1} (1 \cos (θ))$

Passaggio 3.6.3.3.4

Moltiplica $\cos (θ)$ per $1$ .

$r = \frac{\pm e^{C}}{1} \cos (θ)$

Passaggio 3.6.3.3.5

Dividi $\pm e^{C}$ per $1$ .

$r = (\pm e^{C}) \cos (θ)$

Passaggio 3.6.3.3.6

Riordina i fattori in $(\pm e^{C}) \cos (θ)$ .

$r = \cos (θ) (\pm e^{C})$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$r = \cos (θ) C$

Passaggio 5

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $C$ sostituendo $θ$ con $π$ e $r$ con $2$ in $r = \cos (θ) C$ .

$2 = \cos (π) C$

Passaggio 6

Risolvi per $C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riscrivi l'equazione come $\cos (π) C = 2$ .

$\cos (π) C = 2$

Passaggio 6.2

Dividi per $\cos (π)$ ciascun termine in $\cos (π) C = 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Dividi per $\cos (π)$ ciascun termine in $\cos (π) C = 2$ .

$\frac{\cos (π) C}{\cos (π)} = \frac{2}{\cos (π)}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Elimina il fattore comune di $\cos (π)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\cos (π) C}{\cos (π)} = \frac{2}{\cos (π)}$

Passaggio 6.2.2.1.2

Dividi $C$ per $1$ .

$C = \frac{2}{\cos (π)}$

Passaggio 6.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Frazioni separate.

$C = \frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos (π)}$

Passaggio 6.2.3.2

Converti da $\frac{1}{\cos (π)}$ a $\sec (π)$ .

$C = \frac{2}{1} \sec (π)$

Passaggio 6.2.3.3

Dividi $2$ per $1$ .

$C = 2 \sec (π)$

Passaggio 6.2.3.4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la secante è negativa nel secondo quadrante.

$C = 2 (- \sec (0))$

Passaggio 6.2.3.5

Il valore esatto di $\sec (0)$ è $1$ .

$C = 2 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 6.2.3.6

Moltiplica $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$C = 2 \cdot - 1$

Passaggio 6.2.3.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$C = - 2$

Passaggio 7

Sostituisci $- 2$ a $C$ in $r = \cos (θ) C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci $- 2$ a $C$ .

$r = \cos (θ) \cdot - 2$

Passaggio 7.2

Sposta $- 2$ alla sinistra di $\cos (θ)$ .

$r = - 2 \cos (θ)$