Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y - y + x - 1}{x^{2} - 4}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(x y - y) + x - 1}{x^{2} - 4}$

Passaggio 1.1.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x - 1) + 1 (x - 1)}{x^{2} - 4}$

Passaggio 1.1.2

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x - 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(x - 1) (y + 1)}{x^{2} - 4}$

Passaggio 1.2

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{x^{2} - 4} (y + 1)$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y + 1}$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} (\frac{x - 1}{x^{2} - 4} (y + 1))$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Elimina il fattore comune di $y + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Scomponi $y + 1$ da $\frac{x - 1}{x^{2} - 4} (y + 1)$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) \frac{x - 1}{x^{2} - 4})$

Passaggio 1.4.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) \frac{x - 1}{x^{2} - 4})$

Passaggio 1.4.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{x^{2} - 4}$

Passaggio 1.4.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{x^{2} - 2^{2}}$

Passaggio 1.4.2.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 1.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y + 1} d y = \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2)} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2)} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sia $u_{1} = y + 1$ . Allora $d u_{1} = d y$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sia $u_{1} = y + 1$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Differenzia $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Passaggio 2.2.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y + 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 2.2.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 2.2.1.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.2.1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2)} d x$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2)} d x$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $y + 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2)} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.1

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{x + 2}$

Passaggio 2.3.1.1.2

$\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2}$

Passaggio 2.3.1.1.3

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $(x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{(x - 1) (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Passaggio 2.3.1.1.4

Elimina il fattore comune di $x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x - 1) (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Passaggio 2.3.1.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(x - 1) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Passaggio 2.3.1.1.5

Elimina il fattore comune di $x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x - 1) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Passaggio 2.3.1.1.5.2

Dividi $x - 1$ per $1$ .

$x - 1 = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Passaggio 2.3.1.1.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.6.1

Elimina il fattore comune di $x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$x - 1 = \frac{A (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Passaggio 2.3.1.1.6.1.2

Dividi $(A) (x - 2)$ per $1$ .

$x - 1 = (A) (x - 2) + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Passaggio 2.3.1.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$x - 1 = A x + A \cdot - 2 + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Passaggio 2.3.1.1.6.3

Sposta $- 2$ alla sinistra di $A$ .

$x - 1 = A x - 2 \cdot A + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Passaggio 2.3.1.1.6.4

Elimina il fattore comune di $x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$x - 1 = A x - 2 A + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Passaggio 2.3.1.1.6.4.2

Dividi $(B) (x + 2)$ per $1$ .

$x - 1 = A x - 2 A + (B) (x + 2)$

Passaggio 2.3.1.1.6.5

Applica la proprietà distributiva.

$x - 1 = A x - 2 A + B x + B \cdot 2$

Passaggio 2.3.1.1.6.6

Sposta $2$ alla sinistra di $B$ .

$x - 1 = A x - 2 A + B x + 2 B$

Passaggio 2.3.1.1.7

Sposta $- 2 A$ .

$x - 1 = A x + B x - 2 A + 2 B$

Passaggio 2.3.1.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = A + B$

Passaggio 2.3.1.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$- 1 = - 2 A + 2 B$

Passaggio 2.3.1.2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$1 = A + B$

$- 1 = - 2 A + 2 B$

$1 = A + B$

$- 1 = - 2 A + 2 B$

Passaggio 2.3.1.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1

Risolvi per $A$ in $1 = A + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$- 1 = - 2 A + 2 B$

Passaggio 2.3.1.3.1.2

Sottrai $B$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = 1 - B$

$- 1 = - 2 A + 2 B$

$A = 1 - B$

$- 1 = - 2 A + 2 B$

Passaggio 2.3.1.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $1 - B$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $- 1 = - 2 A + 2 B$ con $1 - B$ .

$- 1 = - 2 (1 - B) + 2 B$

$A = 1 - B$

Passaggio 2.3.1.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.2.2.1

Semplifica $- 2 (1 - B) + 2 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.2.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 1 = - 2 \cdot 1 - 2 (- B) + 2 B$

$A = 1 - B$

Passaggio 2.3.1.3.2.2.1.1.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 1 = - 2 - 2 (- B) + 2 B$

$A = 1 - B$

Passaggio 2.3.1.3.2.2.1.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$- 1 = - 2 + 2 B + 2 B$

$A = 1 - B$

$- 1 = - 2 + 2 B + 2 B$

$A = 1 - B$

Passaggio 2.3.1.3.2.2.1.2

Somma $2 B$ e $2 B$ .

$- 1 = - 2 + 4 B$

$A = 1 - B$

$- 1 = - 2 + 4 B$

$A = 1 - B$

$- 1 = - 2 + 4 B$

$A = 1 - B$

$- 1 = - 2 + 4 B$

$A = 1 - B$

Passaggio 2.3.1.3.3

Risolvi per $B$ in $- 1 = - 2 + 4 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $- 2 + 4 B = - 1$ .

$- 2 + 4 B = - 1$

$A = 1 - B$

Passaggio 2.3.1.3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.3.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 B = - 1 + 2$

$A = 1 - B$

Passaggio 2.3.1.3.3.2.2

Somma $- 1$ e $2$ .

$4 B = 1$

$A = 1 - B$

$4 B = 1$

$A = 1 - B$

Passaggio 2.3.1.3.3.3

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 B = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.3.3.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 B = 1$ .

$\frac{4 B}{4} = \frac{1}{4}$

$A = 1 - B$

Passaggio 2.3.1.3.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 B}{4} = \frac{1}{4}$

$A = 1 - B$

Passaggio 2.3.1.3.3.3.2.1.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{1}{4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{4}$

$A = 1 - B$

Passaggio 2.3.1.3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $\frac{1}{4}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $A = 1 - B$ con $\frac{1}{4}$ .

$A = 1 - (\frac{1}{4})$

$B = \frac{1}{4}$

Passaggio 2.3.1.3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.4.2.1

Semplifica $1 - (\frac{1}{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.4.2.1.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$A = \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

Passaggio 2.3.1.3.4.2.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A = \frac{4 - 1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

Passaggio 2.3.1.3.4.2.1.3

Sottrai $1$ da $4$ .

$A = \frac{3}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{3}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{3}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{3}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

Passaggio 2.3.1.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$A = \frac{3}{4}, B = \frac{1}{4}$

Passaggio 2.3.1.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{3}{4}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 2}$

Passaggio 2.3.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.5.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{x + 2} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 2}$

Passaggio 2.3.1.5.2

Moltiplica $\frac{3}{4}$ per $\frac{1}{x + 2}$ .

$\frac{3}{4 (x + 2)} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 2}$

Passaggio 2.3.1.5.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{3}{4 (x + 2)} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x - 2}$

Passaggio 2.3.1.5.4

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{1}{x - 2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{3}{4 (x + 2)} + \frac{1}{4 (x - 2)} d x$

Passaggio 2.3.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{3}{4 (x + 2)} d x + \int \frac{1}{4 (x - 2)} d x$

Passaggio 2.3.3

Poiché $\frac{3}{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{3}{4}$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{3}{4} \int \frac{1}{x + 2} d x + \int \frac{1}{4 (x - 2)} d x$

Passaggio 2.3.4

Sia $u_{2} = x + 2$ . Allora $d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Sia $u_{2} = x + 2$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1.1

Differenzia $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Passaggio 2.3.4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.3.4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.3.4.1.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.3.4.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.3.4.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{3}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int \frac{1}{4 (x - 2)} d x$

Passaggio 2.3.5

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{3}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \int \frac{1}{4 (x - 2)} d x$

Passaggio 2.3.6

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{3}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{x - 2} d x$

Passaggio 2.3.7

Sia $u_{3} = x - 2$ . Allora $d u_{3} = d x$ . Riscrivi usando $u_{3}$ e $d$ $u_{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1

Sia $u_{3} = x - 2$ . Trova $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1.1

Differenzia $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Passaggio 2.3.7.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 2.3.7.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 2.3.7.1.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.3.7.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.3.7.2

Riscrivi il problema usando $u_{3}$ e $d u_{3}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{3}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}$

Passaggio 2.3.8

L'integrale di $\frac{1}{u_{3}}$ rispetto a $u_{3}$ è $\ln (| u_{3} |)$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{3}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{4} (\ln (| u_{3} |) + C_{3})$

Passaggio 2.3.9

Semplifica.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{3}{4} \ln (| u_{2} |) + \frac{1}{4} \ln (| u_{3} |) + C_{4}$

Passaggio 2.3.10

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.10.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x + 2$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{3}{4} \ln (| x + 2 |) + \frac{1}{4} \ln (| u_{3} |) + C_{4}$

Passaggio 2.3.10.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $x - 2$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{3}{4} \ln (| x + 2 |) + \frac{1}{4} \ln (| x - 2 |) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y + 1 |) = \frac{3}{4} \ln (| x + 2 |) + \frac{1}{4} \ln (| x - 2 |) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1

$\frac{3}{4}$ e $\ln (| x + 2 |)$ .

$\ln (| y + 1 |) = \frac{3 \ln (| x + 2 |)}{4} + \frac{1}{4} \ln (| x - 2 |) + C$

Passaggio 3.1.1.2

$\frac{1}{4}$ e $\ln (| x - 2 |)$ .

$\ln (| y + 1 |) = \frac{3 \ln (| x + 2 |)}{4} + \frac{\ln (| x - 2 |)}{4} + C$

Passaggio 3.2

Moltiplica per $4$ ciascun termine in $\ln (| y + 1 |) = \frac{3 \ln (| x + 2 |)}{4} + \frac{\ln (| x - 2 |)}{4} + C$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Moltiplica ogni termine in $\ln (| y + 1 |) = \frac{3 \ln (| x + 2 |)}{4} + \frac{\ln (| x - 2 |)}{4} + C$ per $4$ .

$\ln (| y + 1 |) \cdot 4 = \frac{3 \ln (| x + 2 |)}{4} \cdot 4 + \frac{\ln (| x - 2 |)}{4} \cdot 4 + C \cdot 4$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Sposta $4$ alla sinistra di $\ln (| y + 1 |)$ .

$4 \ln (| y + 1 |) = \frac{3 \ln (| x + 2 |)}{4} \cdot 4 + \frac{\ln (| x - 2 |)}{4} \cdot 4 + C \cdot 4$

Passaggio 3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$4 \ln (| y + 1 |) = \frac{3 \ln (| x + 2 |)}{4} \cdot 4 + \frac{\ln (| x - 2 |)}{4} \cdot 4 + C \cdot 4$

Passaggio 3.2.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$4 \ln (| y + 1 |) = 3 \ln (| x + 2 |) + \frac{\ln (| x - 2 |)}{4} \cdot 4 + C \cdot 4$

Passaggio 3.2.3.1.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$4 \ln (| y + 1 |) = 3 \ln (| x + 2 |) + \frac{\ln (| x - 2 |)}{4} \cdot 4 + C \cdot 4$

Passaggio 3.2.3.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$4 \ln (| y + 1 |) = 3 \ln (| x + 2 |) + \ln (| x - 2 |) + C \cdot 4$

Passaggio 3.2.3.1.3

Sposta $4$ alla sinistra di $C$ .

$4 \ln (| y + 1 |) = 3 \ln (| x + 2 |) + \ln (| x - 2 |) + 4 C$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica $4 \ln (| y + 1 |)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Semplifica $4 \ln (| y + 1 |)$ spostando $4$ all'interno del logaritmo.

$\ln ({| y + 1 |}^{4}) = 3 \ln (| x + 2 |) + \ln (| x - 2 |) + 4 C$

Passaggio 3.3.1.2

Rimuovi il valore assoluto in ${| y + 1 |}^{4}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$\ln ({(y + 1)}^{4}) = 3 \ln (| x + 2 |) + \ln (| x - 2 |) + 4 C$

Passaggio 3.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Semplifica $3 \ln (| x + 2 |) + \ln (| x - 2 |) + 4 C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1

Semplifica $3 \ln (| x + 2 |)$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$\ln ({(y + 1)}^{4}) = \ln ({| x + 2 |}^{3}) + \ln (| x - 2 |) + 4 C$

Passaggio 3.4.1.2

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({(y + 1)}^{4}) = \ln ({| x + 2 |}^{3} | x - 2 |) + 4 C$

Passaggio 3.5

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln ({(y + 1)}^{4}) - \ln ({| x + 2 |}^{3} | x - 2 |) = 4 C$

Passaggio 3.6

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{{(y + 1)}^{4}}{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}) = 4 C$

Passaggio 3.7

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{{(y + 1)}^{4}}{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |})} = e^{4 C}$

Passaggio 3.8

Riscrivi $\ln (\frac{{(y + 1)}^{4}}{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}) = 4 C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{4 C} = \frac{{(y + 1)}^{4}}{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}$

Passaggio 3.9

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.9.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{{(y + 1)}^{4}}{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} = e^{4 C}$ .

$\frac{{(y + 1)}^{4}}{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} = e^{4 C}$

Passaggio 3.9.2

Moltiplica ogni lato per ${| x + 2 |}^{3} | x - 2 |$ .

$\frac{{(y + 1)}^{4}}{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} ({| x + 2 |}^{3} | x - 2 |) = e^{4 C} ({| x + 2 |}^{3} | x - 2 |)$

Passaggio 3.9.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.3.1.1

Elimina il fattore comune di ${| x + 2 |}^{3} | x - 2 |$ .

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Passaggio 3.9.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{{(y + 1)}^{4}}{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} ({| x + 2 |}^{3} | x - 2 |) = e^{4 C} ({| x + 2 |}^{3} | x - 2 |)$

Passaggio 3.9.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

${(y + 1)}^{4} = e^{4 C} ({| x + 2 |}^{3} | x - 2 |)$

Passaggio 3.9.3.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.9.3.2.1

Rimuovi le parentesi.

${(y + 1)}^{4} = e^{4 C} {| x + 2 |}^{3} | x - 2 |$

Passaggio 3.9.4

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.9.4.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y + 1 = \pm \sqrt[4]{e^{4 C} {| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}$

Passaggio 3.9.4.2

Semplifica $\pm \sqrt[4]{e^{4 C} {| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}$ .

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Passaggio 3.9.4.2.1

Riscrivi $e^{4 C} {| x + 2 |}^{3} | x - 2 |$ come ${(e^{C})}^{4} ({| x + 2 |}^{3} | x - 2 |)$ .

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Passaggio 3.9.4.2.1.1

Riscrivi $e^{4 C}$ come ${(e^{C})}^{4}$ .

$y + 1 = \pm \sqrt[4]{{(e^{C})}^{4} {| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}$

Passaggio 3.9.4.2.1.2

Aggiungi le parentesi.

$y + 1 = \pm \sqrt[4]{{(e^{C})}^{4} ({| x + 2 |}^{3} | x - 2 |)}$

Passaggio 3.9.4.2.2

Estrai i termini dal radicale.

$y + 1 = \pm e^{C} \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}$

Passaggio 3.9.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 3.9.4.3.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y + 1 = e^{C} \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}$

Passaggio 3.9.4.3.2

Riordina i fattori in $e^{C} \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}$ .

$y + 1 = \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C}$

Passaggio 3.9.4.3.3

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

Passaggio 3.9.4.3.4

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y + 1 = - e^{C} \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}$

Passaggio 3.9.4.3.5

Riordina i fattori in $- e^{C} \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}$ .

$y + 1 = - \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C}$

Passaggio 3.9.4.3.6

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = - \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

Passaggio 3.9.4.3.7

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

$y = - \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

$y = \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

$y = - \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

$y = \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

$y = - \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

$y = \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

$y = - \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

$y = \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

$y = - \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} C - 1$

$y = - \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} C - 1$