Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x}$ of $y = x^{3}$

Passaggio 1

Scrivi il problema come espressione matematica.

$\frac{d y}{d x} \cdot y = x^{3}$

Passaggio 2

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Dividi per $y$ ciascun termine in $\frac{d y}{d x} \cdot y = x^{3}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Dividi per $y$ ciascun termine in $\frac{d y}{d x} \cdot y = x^{3}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} \cdot y}{y} = \frac{x^{3}}{y}$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cdot y}{y} = \frac{x^{3}}{y}$

Passaggio 2.1.2.1.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3}}{y}$

Passaggio 2.2

Moltiplica ogni lato per $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{3}}{y}$

Passaggio 2.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Elimina il fattore comune.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{3}}{y}$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$y \frac{d y}{d x} = x^{3}$

Passaggio 2.4

Riscrivi l'equazione.

$y d y = x^{3} d x$

Passaggio 3

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y d y = \int x^{3} d x$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x^{3} d x$

Passaggio 3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

Passaggio 3.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{4} x^{4} + K$

Passaggio 4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$

Passaggio 4.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$

Passaggio 4.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$

Passaggio 4.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica $2 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

$\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{4}}{4} + K)$

Passaggio 4.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} = 2 \frac{x^{4}}{4} + 2 K$

Passaggio 4.2.2.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.3.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$y^{2} = 2 \frac{x^{4}}{2 (2)} + 2 K$

Passaggio 4.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$y^{2} = 2 \frac{x^{4}}{2 \cdot 2} + 2 K$

Passaggio 4.2.2.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = \frac{x^{4}}{2} + 2 K$

Passaggio 4.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{4}}{2} + 2 K}$

Passaggio 4.4

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{x^{4}}{2} + 2 K}$ .

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Passaggio 4.4.1

Per scrivere $2 K$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{4}}{2} + 2 K \cdot \frac{2}{2}}$

Passaggio 4.4.2

$2 K$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{4}}{2} + \frac{2 K \cdot 2}{2}}$

Passaggio 4.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{4} + 2 K \cdot 2}{2}}$

Passaggio 4.4.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{4} + 4 K}{2}}$

Passaggio 4.4.5

Riscrivi $\sqrt{\frac{x^{4} + 4 K}{2}}$ come $\frac{\sqrt{x^{4} + 4 K}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{4} + 4 K}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 4.4.6

Moltiplica $\frac{\sqrt{x^{4} + 4 K}}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{4} + 4 K}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 4.4.7

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.7.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{x^{4} + 4 K}}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{4} + 4 K} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 4.4.7.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{4} + 4 K} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Passaggio 4.4.7.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{4} + 4 K} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Passaggio 4.4.7.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{4} + 4 K} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 4.4.7.5

Somma $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{4} + 4 K} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 4.4.7.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

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Passaggio 4.4.7.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{4} + 4 K} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 4.4.7.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{4} + 4 K} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 4.4.7.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{4} + 4 K} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 4.4.7.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.7.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{4} + 4 K} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 4.4.7.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{4} + 4 K} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Passaggio 4.4.7.6.5

Calcola l'esponente.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{4} + 4 K} \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.4.8

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x^{4} + 4 K) \cdot 2}}{2}$

Passaggio 4.4.9

Riordina i fattori in $\pm \frac{\sqrt{(x^{4} + 4 K) \cdot 2}}{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{4} + 4 K)}}{2}$

Passaggio 4.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 4.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{4} + 4 K)}}{2}$

Passaggio 4.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{4} + 4 K)}}{2}$

Passaggio 4.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{4} + 4 K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{4} + 4 K)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{4} + 4 K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{4} + 4 K)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{4} + 4 K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{4} + 4 K)}}{2}$

Passaggio 5

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{4} + K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{4} + K)}}{2}$