Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 6 y^{2} x$ , $y (1) = \frac{1}{25}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (6 y^{2} x)$

Passaggio 1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{1}{y^{2}} (y^{2} x)$

Passaggio 1.2.2

$6$ e $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y^{2}} (y^{2} x)$

Passaggio 1.2.3

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Scomponi $y^{2}$ da $y^{2} x$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y^{2}} (y^{2} (x))$

Passaggio 1.2.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y^{2}} (y^{2} x)$

Passaggio 1.2.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 6 x$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y^{2}} d y = 6 x d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int 6 x d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sposta $y^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int 6 x d x$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int 6 x d x$

Passaggio 2.2.1.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int 6 x d x$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{- 2}$ rispetto a $y$ è $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int 6 x d x$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $- y^{- 1} + C_{1}$ come $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 6 x d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , sposta $6$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 6 \int x d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Passaggio 2.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Riscrivi $6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ come $6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

$6$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{6}{2} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2

Elimina il fattore comune di $6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{3}{1} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2.4

Dividi $3$ per $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 3 x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$- \frac{1}{y} = 3 x^{2} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$y, 1, 1$

Passaggio 3.1.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$y$

Passaggio 3.2

Moltiplica per $y$ ciascun termine in $- \frac{1}{y} = 3 x^{2} + K$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{1}{y} = 3 x^{2} + K$ per $y$ .

$- \frac{1}{y} y = 3 x^{2} y + K y$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{y}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{y} y = 3 x^{2} y + K y$

Passaggio 3.2.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{y} y = 3 x^{2} y + K y$

Passaggio 3.2.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 = 3 x^{2} y + K y$

Passaggio 3.3

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $3 x^{2} y + K y = - 1$ .

$3 x^{2} y + K y = - 1$

Passaggio 3.3.2

Scomponi $y$ da $3 x^{2} y + K y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Scomponi $y$ da $3 x^{2} y$ .

$y (3 x^{2}) + K y = - 1$

Passaggio 3.3.2.2

Scomponi $y$ da $K y$ .

$y (3 x^{2}) + y K = - 1$

Passaggio 3.3.2.3

Scomponi $y$ da $y (3 x^{2}) + y K$ .

$y (3 x^{2} + K) = - 1$

Passaggio 3.3.3

Dividi per $3 x^{2} + K$ ciascun termine in $y (3 x^{2} + K) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Dividi per $3 x^{2} + K$ ciascun termine in $y (3 x^{2} + K) = - 1$ .

$\frac{y (3 x^{2} + K)}{3 x^{2} + K} = \frac{- 1}{3 x^{2} + K}$

Passaggio 3.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3 x^{2} + K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (3 x^{2} + K)}{3 x^{2} + K} = \frac{- 1}{3 x^{2} + K}$

Passaggio 3.3.3.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- 1}{3 x^{2} + K}$

Passaggio 3.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{1}{3 x^{2} + K}$

Passaggio 4

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $1$ e $y$ con $\frac{1}{25}$ in $y = - \frac{1}{3 x^{2} + K}$ .

$\frac{1}{25} = - \frac{1}{3 \cdot 1^{2} + K}$

Passaggio 5

Risolvi per $K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $- \frac{1}{3 \cdot 1^{2} + K} = \frac{1}{25}$ .

$- \frac{1}{3 \cdot 1^{2} + K} = \frac{1}{25}$

Passaggio 5.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{1}{3 \cdot 1 + K} = \frac{1}{25}$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$- \frac{1}{3 + K} = \frac{1}{25}$

Passaggio 5.3

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$3 + K, 25$

Passaggio 5.3.2

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 5.3.3

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 5.3.4

$25$ presenta fattori di $5$ e $5$ .

$5 \cdot 5$

Passaggio 5.3.5

Moltiplica $5$ per $5$ .

$25$

Passaggio 5.3.6

Il fattore di $3 + K$ è $3 + K$ stesso.

$(3 + K) = 3 + K$

$(3 + K)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 5.3.7

Il minimo comune multiplo di $3 + K$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$3 + K$

Passaggio 5.3.8

Il minimo comune multiplo $LCM$ di alcuni numeri è il numero più piccolo di cui i numeri sono fattori.

$25 (3 + K)$

Passaggio 5.4

Moltiplica per $25 (3 + K)$ ciascun termine in $- \frac{1}{3 + K} = \frac{1}{25}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{1}{3 + K} = \frac{1}{25}$ per $25 (3 + K)$ .

$- \frac{1}{3 + K} (25 (3 + K)) = \frac{1}{25} (25 (3 + K))$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $3 + K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{3 + K}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{3 + K} (25 (3 + K)) = \frac{1}{25} (25 (3 + K))$

Passaggio 5.4.2.1.2

Scomponi $3 + K$ da $25 (3 + K)$ .

$\frac{- 1}{3 + K} ((3 + K) \cdot 25) = \frac{1}{25} (25 (3 + K))$

Passaggio 5.4.2.1.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{3 + K} ((3 + K) \cdot 25) = \frac{1}{25} (25 (3 + K))$

Passaggio 5.4.2.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- 1 \cdot 25 = \frac{1}{25} (25 (3 + K))$

Passaggio 5.4.2.2

Moltiplica $- 1$ per $25$ .

$- 25 = \frac{1}{25} (25 (3 + K))$

Passaggio 5.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Elimina il fattore comune di $25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$- 25 = \frac{1}{25} (25 (3 + K))$

Passaggio 5.4.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$- 25 = 3 + K$

Passaggio 5.5

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Riscrivi l'equazione come $3 + K = - 25$ .

$3 + K = - 25$

Passaggio 5.5.2

Sposta tutti i termini non contenenti $K$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$K = - 25 - 3$

Passaggio 5.5.2.2

Sottrai $3$ da $- 25$ .

$K = - 28$

Passaggio 6

Sostituisci $- 28$ a $K$ in $y = - \frac{1}{3 x^{2} + K}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci $- 28$ a $K$ .

$y = - \frac{1}{3 x^{2} - 28}$