Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{x - 6}$ and $y (7) = - 2$ ?

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = \frac{4}{x - 6} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int \frac{4}{x - 6} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int \frac{4}{x - 6} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{x - 6} d x$

Passaggio 2.3.2

Sia $u = x - 6$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Sia $u = x - 6$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.2.1.1

Differenzia $x - 6$ .

$\frac{d}{d x} [x - 6]$

Passaggio 2.3.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 2.3.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 2.3.2.1.4

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.3.2.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2.3.3

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = 4 (\ln (| u |) + C_{2})$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

$y + C_{1} = 4 \ln (| u |) + C_{2}$

Passaggio 2.3.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 6$ .

$y + C_{1} = 4 \ln (| x - 6 |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$y = 4 \ln (| x - 6 |) + C$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $C$ sostituendo $x$ con $7$ e $y$ con $- 2$ in $y = 4 \ln (| x - 6 |) + C$ .

$- 2 = 4 \ln (| 7 - 6 |) + C$

Passaggio 4

Risolvi per $C$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $4 \ln (| 7 - 6 |) + C = - 2$ .

$4 \ln (| 7 - 6 |) + C = - 2$

Passaggio 4.2

Semplifica $4 \ln (| 7 - 6 |) + C$ .

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Sottrai $6$ da $7$ .

$4 \ln (| 1 |) + C = - 2$

Passaggio 4.2.1.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$4 \ln (1) + C = - 2$

Passaggio 4.2.1.3

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$4 \cdot 0 + C = - 2$

Passaggio 4.2.1.4

Moltiplica $4$ per $0$ .

$0 + C = - 2$

Passaggio 4.2.2

Somma $0$ e $C$ .

$C = - 2$

Passaggio 5

Sostituisci $- 2$ a $C$ in $y = 4 \ln (| x - 6 |) + C$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $- 2$ a $C$ .

$y = 4 \ln (| x - 6 |) - 2$

Passaggio 5.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica $4 \ln (| x - 6 |)$ spostando $4$ all'interno del logaritmo.

$y = \ln ({| x - 6 |}^{4}) - 2$

Passaggio 5.2.2

Rimuovi il valore assoluto in ${| x - 6 |}^{4}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$y = \ln ({(x - 6)}^{4}) - 2$