Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = {(e^{x} - e^{- x})}^{2}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = {(e^{x} - e^{- x})}^{2} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int {(e^{x} - e^{- x})}^{2} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int {(e^{x} - e^{- x})}^{2} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Semplifica.

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Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi ${(e^{x} - e^{- x})}^{2}$ come $(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x})$ .

$y + C_{1} = \int (e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x}) d x$

Passaggio 2.3.1.2

Espandi $(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x})$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y + C_{1} = \int e^{x} (e^{x} - e^{- x}) - e^{- x} (e^{x} - e^{- x}) d x$

Passaggio 2.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$y + C_{1} = \int e^{x} e^{x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} (e^{x} - e^{- x}) d x$

Passaggio 2.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$y + C_{1} = \int e^{x} e^{x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Passaggio 2.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 2.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.3.1.3.1.1

Moltiplica $e^{x}$ per $e^{x}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.3.1.3.1.1.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y + C_{1} = \int e^{x + x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Passaggio 2.3.1.3.1.1.2

Somma $x$ e $x$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Passaggio 2.3.1.3.1.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - e^{x} e^{- x} - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Passaggio 2.3.1.3.1.3

Moltiplica $e^{x}$ per $e^{- x}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1.3.1

Sposta $e^{- x}$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - (e^{- x} e^{x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Passaggio 2.3.1.3.1.3.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - e^{- x + x} - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Passaggio 2.3.1.3.1.3.3

Somma $- x$ e $x$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - e^{0} - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Passaggio 2.3.1.3.1.4

Semplifica $- e^{0}$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Passaggio 2.3.1.3.1.5

Moltiplica $e^{- x}$ per $e^{x}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1.5.1

Sposta $e^{x}$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - (e^{x} e^{- x}) - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Passaggio 2.3.1.3.1.5.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - e^{x - x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Passaggio 2.3.1.3.1.5.3

Sottrai $x$ da $x$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - e^{0} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Passaggio 2.3.1.3.1.6

Semplifica $- e^{0}$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - 1 - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Passaggio 2.3.1.3.1.7

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- x} e^{- x} d x$

Passaggio 2.3.1.3.1.8

Moltiplica $e^{- x}$ per $e^{- x}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.3.1.3.1.8.1

Sposta $e^{- x}$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 (e^{- x} e^{- x}) d x$

Passaggio 2.3.1.3.1.8.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- x - x} d x$

Passaggio 2.3.1.3.1.8.3

Sottrai $x$ da $- x$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- 2 x} d x$

Passaggio 2.3.1.3.1.9

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - 1 + 1 e^{- 2 x} d x$

Passaggio 2.3.1.3.1.10

Moltiplica $e^{- 2 x}$ per $1$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - 1 + e^{- 2 x} d x$

Passaggio 2.3.1.3.2

Sottrai $1$ da $- 1$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 2 + e^{- 2 x} d x$

Passaggio 2.3.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = \int e^{2 x} d x + \int - 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

Passaggio 2.3.3

Sia $u_{1} = 2 x$ . Allora $d u_{1} = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Passaggio 2.3.3.1

Sia $u_{1} = 2 x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.3.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.3.3.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.3.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 2.3.3.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 2.3.3.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$y + C_{1} = \int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1} + \int - 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

Passaggio 2.3.4

$e^{u_{1}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int - 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

Passaggio 2.3.5

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

Passaggio 2.3.6

L'integrale di $e^{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $e^{u_{1}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) + \int - 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

Passaggio 2.3.7

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 2 x + C_{3} + \int e^{- 2 x} d x$

Passaggio 2.3.8

Sia $u_{2} = - 2 x$ . Allora $d u_{2} = - 2 d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 2.3.8.1

Sia $u_{2} = - 2 x$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.8.1.1

Differenzia $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 2.3.8.1.2

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.8.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Passaggio 2.3.8.1.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2$

Passaggio 2.3.8.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 2 x + C_{3} + \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Passaggio 2.3.9

Semplifica.

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Passaggio 2.3.9.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 2 x + C_{3} + \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Passaggio 2.3.9.2

$e^{u_{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 2 x + C_{3} + \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Passaggio 2.3.10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 2 x + C_{3} - \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Passaggio 2.3.11

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 2 x + C_{3} - (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 2.3.12

L'integrale di $e^{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $e^{u_{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 2 x + C_{3} - \frac{1}{2} (e^{u_{2}} + C_{4})$

Passaggio 2.3.13

Semplifica.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{u_{1}} - 2 x - \frac{1}{2} e^{u_{2}} + C_{5}$

Passaggio 2.3.14

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 2.3.14.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 x} - 2 x - \frac{1}{2} e^{u_{2}} + C_{5}$

Passaggio 2.3.14.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- 2 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 x} - 2 x - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C_{5}$

Passaggio 2.3.15

Riordina i termini.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} - 2 x + C_{5}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = \frac{1}{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} - 2 x + K$