Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{y + \ln (x)}{x}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi l'equazione come $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Dividi la frazione $\frac{y + \ln (x)}{x}$ in due frazioni.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\ln (x)}{x}$

Passaggio 1.1.2

Sottrai $\frac{y}{x}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = \frac{\ln (x)}{x}$

Passaggio 1.2

Scomponi $y$ da $- \frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{1}{x}) = \frac{\ln (x)}{x}$

Passaggio 1.3

Riordina $y$ e $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} y = \frac{\ln (x)}{x}$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = - \frac{1}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 2.2

Integra $- \frac{1}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- \ln (x)}$

Passaggio 2.4

Usa la regola della potenza logaritmica.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Passaggio 2.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$x^{- 1}$

Passaggio 2.6

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $\frac{1}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

$\frac{1}{x}$ e $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

Passaggio 3.2.3

$\frac{1}{x}$ e $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Moltiplica $\frac{y}{x}$ per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

Passaggio 3.2.4.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

Passaggio 3.2.4.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

Passaggio 3.2.4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

Passaggio 3.2.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

Passaggio 3.3

Moltiplica $\frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $\frac{\ln (x)}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{\ln (x)}{x \cdot x}$

Passaggio 3.3.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{\ln (x)}{x^{1} x}$

Passaggio 3.3.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{\ln (x)}{x^{1} x^{1}}$

Passaggio 3.3.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{\ln (x)}{x^{1 + 1}}$

Passaggio 3.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int \frac{\ln (x)}{x^{2}} d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$\frac{1}{x} y = \int \frac{\ln (x)}{x^{2}} d x$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = \int \ln (x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 7.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x} y = \int \ln (x) x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 7.1.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = \int \ln (x) x^{- 2} d x$

Passaggio 7.2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (x)$ e $d v = x^{- 2}$ .

$\frac{1}{x} y = \ln (x) (- \frac{1}{x}) - \int - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Passaggio 7.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

$\ln (x)$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Passaggio 7.3.2

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x \cdot x} d x$

Passaggio 7.3.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{1} x} d x$

Passaggio 7.3.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{1} x^{1}} d x$

Passaggio 7.3.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{1 + 1}} d x$

Passaggio 7.3.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 7.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 7.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} + 1 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 7.5.1.2

Moltiplica $\int \frac{1}{x^{2}} d x$ per $1$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 7.5.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.2.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} + \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 7.5.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} + \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 7.5.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} + \int x^{- 2} d x$

Passaggio 7.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1} + C$

Passaggio 7.7

Riscrivi $- \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1} + C$ come $- \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + C$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + C$

Passaggio 8

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Somma $\frac{\ln (x)}{x}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{1}{x} y + \frac{\ln (x)}{x} = - \frac{1}{x} + C$

Passaggio 8.1.2

Somma $\frac{1}{x}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{1}{x} y + \frac{\ln (x)}{x} + \frac{1}{x} = C$

Passaggio 8.1.3

Sottrai $C$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{1}{x} y + \frac{\ln (x)}{x} + \frac{1}{x} - C = 0$

Passaggio 8.1.4

$\frac{1}{x}$ e $y$ .

$\frac{y}{x} + \frac{\ln (x)}{x} + \frac{1}{x} - C = 0$

Passaggio 8.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Sottrai $\frac{\ln (x)}{x}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{y}{x} + \frac{1}{x} - C = - \frac{\ln (x)}{x}$

Passaggio 8.2.2

Sottrai $\frac{1}{x}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{y}{x} - C = - \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x}$

Passaggio 8.2.3

Somma $C$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{y}{x} = - \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + C$

Passaggio 8.3

Moltiplica ogni lato per $x$ .

$\frac{y}{x} x = (- \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + C) x$

Passaggio 8.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{x} x = (- \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + C) x$

Passaggio 8.4.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = (- \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + C) x$

Passaggio 8.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1

Semplifica $(- \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + C) x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = - \frac{\ln (x)}{x} x - \frac{1}{x} x + C x$

Passaggio 8.4.2.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\ln (x)}{x}$ nel numeratore.

$y = \frac{- \ln (x)}{x} x - \frac{1}{x} x + C x$

Passaggio 8.4.2.1.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{- \ln (x)}{x} x - \frac{1}{x} x + C x$

Passaggio 8.4.2.1.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$y = - \ln (x) - \frac{1}{x} x + C x$

Passaggio 8.4.2.1.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1.2.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{x}$ nel numeratore.

$y = - \ln (x) + \frac{- 1}{x} x + C x$

Passaggio 8.4.2.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = - \ln (x) + \frac{- 1}{x} x + C x$

Passaggio 8.4.2.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = - \ln (x) - 1 + C x$

Passaggio 8.4.2.1.3

Sposta $- 1$ .

$y = - \ln (x) + C x - 1$

Passaggio 8.4.2.1.4

Riordina $- \ln (x)$ e $C x$ .

$y = C x - \ln (x) - 1$